Elo für Football | 3rd Down Rouge

Für Interessierte gibt es eine Q/A auf fivethirtyeight.com, in der Elo im Hinblick auf die Anwendung auf NFL-Football diskutiert wird. Hier bin ich etwas anschaulicher als in der Q/A, die in einigen Bereichen nicht so ausführlich ist. Ich empfehle auch den Wikipedia-Artikel über das Elo-Bewertungssystem.

Was ist Elo?

Elo ist ein Bewertungssystem, das für Head-to-Head-Matchups entwickelt wurde. Es ist nach seinem Schöpfer Arpad Elo benannt, und es ist kein Akronym für irgendetwas Bestimmtes.

Elo wurde entwickelt, um Meinungen und Marketing aus dem Bewertungsprozess herauszunehmen. Es wird nur das tatsächliche Ergebnis eines Matchups gemessen und von der Bewertung eines Teilnehmers gutgeschrieben oder abgezogen. Es hilft dabei, Ranglistensysteme zu bilden, die weniger von menschlichen Voreingenommenheiten beeinflusst werden, außer natürlich, welche Werte zur Bildung der Bewertung verwendet werden. Das heißt nicht, dass es frei von jeglicher Voreingenommenheit ist. Mathematisch gesehen wird die Vorgeschichte des Teilnehmers immer, zumindest vorübergehend, seine Bewertung beeinflussen. Sie kann einen kürzlichen Unfall nicht berücksichtigen, durch den der Teilnehmer nicht mehr in der Lage ist, eine frühere Bewertung zu erreichen. Elo war auch sehr nützlich, bevor das Internet Matchups zwischen geografisch weit entfernten Gegnern ermöglichte.

Elo wurde als Schach-Rating-System populär, um mit der Schwierigkeit der Bewertung und Einstufung von Spielern für Turniere umzugehen. Wenn Sie jemals von einem Schachmeister gehört haben, ist ein hoher Elo-Wert ein wichtiger Faktor bei der Bestimmung seiner Meisterschaft. Für Wettkampfzwecke ist es wünschenswert, dass bessere Schachspieler gegen ähnlich eingestufte Gegner spielen. Außerdem ist es für die Zwecke der Rangliste wünschenswert, dass höher qualifizierte Spieler nicht dafür belohnt werden, dass sie Spieler mit niedrigerem Rang verprügeln, um ihre Rangliste aufzubessern. Elo ist auch darauf ausgelegt, mit der Herausforderung umzugehen, dass sich viele Spieler nie begegnen werden. Mit anderen Worten, wenn das Netzwerk von Matchups spärlich ist. Eine erhöhte Spärlichkeit verzerrt das Bewertungssystem immer noch. Allerdings bringen Wettbewerbe auf höherem Niveau die besten Spieler zusammen, um dieses Problem auszugleichen.

Elo und ähnlich abgeleitete Bewertungssysteme werden in vielen Wettbewerbsplattformen verwendet. Videospiele, Sport und andere Wettbewerbe haben das Elo-Rating-System für ihre Zwecke angepasst. Tatsächlich ist die Anwendung des Elo-Ratingsystems auf Fußball aussagekräftiger als seine Anwendung auf Schach. Im Schach ist es schwieriger, die Stärke eines Sieges zu quantifizieren, da das Zählen von Figuren oder Zügen den Stil gegenüber der Stärke anzeigen kann. Im Fußball hingegen ist die Punktedifferenz ein relativ guter Indikator für den Unterschied in der Teamqualität, besonders in offensiven Ligen wie der CFL.

Warum es verwenden?

Elo ist in vielerlei Hinsicht eine Quantifizierung dessen, was Menschen die ganze Zeit über mit qualitativen Meinungen über Teams tun. Wir geben Teams, die gewinnen, Kredit und reduzieren unsere Meinung über diejenigen, die verlieren. Elo ist auch ein Nullsummenspiel. Ein Team, das gewinnt, erhält die gleiche Menge an Kredit wie das Team, das verliert. Elo kann auch so modifiziert werden, dass Außenseiter mehr Kredit für einen Sieg über einen favorisierten Gegner erhalten und Favoriten weniger Kredit für das Schlagen von nicht konkurrenzfähigen Gegnern.

Elo ist auch in vielerlei Hinsicht aussagekräftiger als Sieg-Verlust-Spalten allein. Sieg-Niederlage-Spalten sind eine Reduktion von Informationen auf eine einzige Information. Hat eine Mannschaft verloren, null Punkte, oder hat sie gewonnen, ein Punkt. Bei Unentschieden muss dies erweitert werden, um halbe Punkte zu berücksichtigen. Im Vergleich dazu beginnt Elo damit, dass jedes Team mit demselben anfänglichen Punktestand beginnt. Dann wird bei jedem Matchup dieser Punktestand bei einem Sieg erhöht oder bei einer Niederlage verringert. Der Betrag dieser Änderung beginnt mit einem Standardwert, der dann relativ dazu erhöht wird, wie favorisiert der Teilnehmer für einen Sieg/eine Niederlage war und um wie viele Punkte der Teilnehmer gewonnen/verloren hat. Anstatt eines einzelnen Wertes drückt die Summe der gewonnenen/verlorenen Punkte mehr Informationen über das Ergebnis des Wettkampfs aus.

Was sind die Grundlagen?

Jedes Team beginnt mit einer Elo-Zahl von $1500$ . (Mathematisch gesehen spielt dieser konkrete Wert von $1500$ keine Rolle. Es ist jedoch visuell schön, einen ausreichend positiven Wert zu haben, so dass leistungsschwache Teams nicht ausnahmslos negative Werte haben. Sie könnten bei Null anfangen, wenn Sie wollten, oder sogar bei einer Million. In der Praxis wird dies jedoch vermieden.)

Zusätzlich geben wir jedem Spiel einen Wert von $K = 20$ . Vor allen anderen Faktoren gewinnt also eine Mannschaft, die gewinnt, $K$ Punkte und die andere Mannschaft verliert $K$ Punkte. Ein Beispiel, wenn wir zwei Teams $Team_{A}$ und $Team_{B}$ haben, die mit Bewertungen von $ELO^{before}_{team_{A}} = 1500$ und $ELO^{before}_{team_{B}} = 1500$ , wenn dann $Team_{A}$ gewinnt, dann $ELO^{after}_{Team_{A}} = 1520$ und $ELO^{after}_{Team_{B}} = 1480$ . Bei einem Unentschieden würden ihre Bewertungen unverändert bleiben.

Wenn wir diese Formel bereinigen wollen, $ELO^{after} = ELO^{before} + K * WL$ , wobei $WL = 1$ ist, wenn die Mannschaft gewonnen hat, oder $WL = -1$ , wenn die Mannschaft verloren hat.

Warum wählen wir $K = 20$ ? In vielerlei Hinsicht hat $K$ mehr Einfluss als nur der Wert, um den die Bewertung eines Teams angepasst wird. Er beeinflusst, wie stark die Bewertung eines Teams auf ein einzelnes Wettbewerbsereignis reagiert. Je größer der Wert, desto größer die Schwankung. Im europäischen Fußball werden den verschiedenen Ereignissen unterschiedliche Werte zugeordnet, die versuchen, die Seltenheit des Wettbewerbs auszudrücken und hoffentlich auch, wie ernst das teilnehmende Land das Ereignis nimmt. Zum Beispiel erhalten höher bewertete Ereignisse wie WM-Endrunden einen Wert $K=60$ , während Freundschaftsspiele mit $K=20$ bewertet werden.

Siegeserwartung?

Die Siegeserwartung ist ein Maß dafür, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Mannschaft gegen eine andere gewinnt. Genauer gesagt, die prozentuale Chance, dass ein Team gewinnt. Wenn zum Beispiel eine Münze geworfen würde, dann hätte jedes Team eine $50%ige$ Chance. Ein favorisiertes Team wird eine große Zahl haben, die sich $100\%$ nähert und ein Underdog einen Wert, der sich $0\%$ nähert.

Wir werden einen Gewinnerwartungswert verwenden, um $WL$ aus der bestehenden Formel zu ersetzen. Anstatt einem Team alle Punkte zu geben, die in $K$ angegeben sind, werden wir sie danach anpassen, wie die Gewinnerwartung $W_{e}$ des Teams im Vergleich zum tatsächlichen Sieg/Niederlage-Ergebnis $W$ aussieht. Eine Mannschaft, die keine Chance hat zu verlieren, selbst wenn sie nicht antreten würde, hätte eine Gewinnerwartung von $W_{e}=100\%=1$ , und eine Mannschaft, die keine Chance hat zu gewinnen, hätte $W_{e}=0\%=0$ . Ein Team, das gewinnt, erhält den vollen Wert eines Sieges $W=1$ , ein Team, das verliert, keinen Wert $W=0$ , und ein Team, das unentschieden spielt, den halben Wert $W=0.5$ .

Wir bestimmen nun die relative Punktzahl, die jede Partei im Wettbewerb erhält, basierend darauf, wie ihr Ergebnis im Vergleich zu ihrem erwarteten Ergebnis ausfällt. Zwei gleichstarke Mannschaften hätten ein $W_{e}= 0,5$ und somit würde der Sieger $W - W_{e}= 1 - 0.5 = 1/2$ der $K$ Punkte und der Verlierer würde $W - 0,5 = -1/2$ der $K$ erhalten. Eine favorisierte Mannschaft mit einem $W_{e}= 0,75$ , die gewinnt, würde $W - W_{e}= 1 - 0.75 = 1/4$ von $K$ , während ein gewinnender Underdog mit $W_{e}= 0.25$ $W - W_{e}= 1- 0.25 = 3/4$ von $K$ erhalten würde. Ein Underdog, der umgekehrt verliert, verliert nur $1/4$ der Punkte und ein ähnlicher Favorit verliert $3/4$ der Punkte.
Wenn wir diese Formel bereinigen wollen:

$ELO^{after} = ELO^{before} + K * (W - W_{e})$
Um $W_{e}$ zu bestimmen, gibt es eine Reihe von Methoden. Eine davon ist, eine Stichprobe der Ergebnisse zu nehmen, bevor man das Maß für die Gewinnerwartung anwendet. Erstellen Sie dann eine Referenztabelle mit der Differenz der Elo-Werte und den Gewinnchancen des höher bewerteten Teams. Dann beziehen Sie sich einfach auf die Tabelle. Sie können die Tabelle dann iterativ auf der Grundlage der neuen Bewertungen anpassen, die Sie bei der Anwendung der Gewinnerwartung erzielt haben, bis sich die Ergebnisse stabilisieren. Alternativ dazu, benutze ich die ungefähre Formel
$W_{e} = \frac{1}{10^{\frac{-diff}{400}}+1}$

wobei die Differenz der Elo-Werte
$diff = ELO^{before}_{team_{A}} - ELO^{nach}_{Team_{B}}$

Heimvorteil?

Bislang haben wir uns darauf eingestellt, dass eine Mannschaft als Favorit gilt. Intuitiv und statistisch wissen wir jedoch, dass es auch einen Vorteil gibt, wenn ein Spiel zu Hause stattfindet. Sei es die Reise, der Schlaf, die Zeitzonen, die Umkleidekabine oder andere Aspekte. Um dies zu berücksichtigen, passen wir die Differenz um $65$ Punkte für ein Heimteam nach oben und um den gleichen Betrag nach unten für ein Auswärtsteam an. Als Ergebnis

$diff_{HA} = \begin{cases} diff + 65, \text{if } location = \\\ diff - 65, \text{if } location = Away\ diff, \text{otherwise} \end{cases}$

und
$W_{e} = \frac{1}{10^{\frac{-diff_{HA}}{400}}+1}$

Für einen gewissen Kontext gilt die Faustregel, dass $65$ Elo-Punkte ungefähr $2,6$ Punkte in einem NFL-Spiel wert sind. Daraus sollten Sie extrapolieren können, dass jeder $25$ Elo-Punkt einen einzelnen Punkt im Spiel wert ist. Zum Beispiel ist eine Differenz von $250$ Punkten eine theoretische Punktedifferenz von $10$ Punkten.

Diese Anpassung wird aus der fivethirtyeight.com Q/A gezogen.

Was bleibt übrig? Margin of Victory

Wir haben noch einen letzten Wert zu berücksichtigen. Das ist die Anzahl der Punkte, um die ein Team gewinnt/verliert, auch bekannt als Margin of Victory. Wenn ein Favorit gewinnt, gerät die Punktedifferenz oft aus mehr Gründen außer Kontrolle als wegen der Wettbewerbsdifferenz der Teams. Denken Sie an ein Top-Fünf-College-Football-Power-Five-Conference-Team gegen ein knappes Mid-Major-Conference-Team. Wir wollen einen Multiplikator $mult$ verwenden, um $K$ an das Ergebnis des Spiels anzupassen.

Dieser Multiplikator wird zwei Teile haben. Der erste wird mit abnehmender Punktzahl angewandt, wenn die Differenz für das Ergebnis größer wird. Eine gut geeignete mathematische Funktion ist der natürliche Logarithmus $ln$ . Das zweite ist ein Multiplikator, der abnimmt, wenn der Eloof des Gewinners größer ist als der des Verlierers, und der zunimmt, wenn der Eloof des Verlierers größer ist als der des Gewinners.

Für den ersten Teil haben wir die Formel

$ln(\left|pts_{W}-pts_{L}\right|+1)$
Ein Unentschieden wäre dann $ln(1) = 0$ , was zu keinem Multiplikator führt. Ein einzelner Field Goal Unterschied ist $ln(3+1)$ und ein einzelner Touchdown Unterschied ist $ln(7+1)$ . Beachten Sie, dass wir die abnehmenden Erträge für die Siegpunktdifferenz durch $ln(8) = ~2.08$ $ln(15) = ~2.71$ $ln(22) = ~3.09$ , und $ln(29) = ~3.37$ .

Für die zweite beginnen wir mit einem Multiplikator von $2,2$ und passen ihn anhand der Elo-Differenz des Teams $diff$ vor der Heim- und Auswärtsanpassung an. Das Ergebnis ist $\frac{2.2}{2.2+\frac{diff}{1000}}$ . Dieser Multiplikator beginnt bei $1$ und nimmt ab, je weiter die Elo-Werte der Teilnehmer auseinander liegen.

Der kumulierte Multiplikator ist

$mult = (ln(\left|pts_{W}-pts_{L}\right|+1) * (\frac{2.2}{2.2+\frac{diff}{1000}})$
Dieser Multiplikator stammt aus dem fivethirtyeight.com Q/A.

Neutrales Beispiel

Klangt nach einer Menge Mathe.

Hier ist ein neutrales Beispiel von zwei durchschnittlichen Teams an einem neutralen Ort. Mit einem Team, das mit einem einzigen Touchdown gewinnt.

Wir haben zwei Teams, einen Gewinner $Team_{W}$ und einen Verlierer $Team_{L}$ .

Beide Teams beginnen mit einer durchschnittlichen ELO $ELO^{before}_{team_{W}}=1500$ und $ELO^{before}_{team_{L}}=1500$ .

Als Ergebnis haben wir ein Differential von $diff =ELO^{before}_{team_{W}} - ELO^{nach}_{Team_{L}} = 1500-1500 = 0$ .

Ein Spiel auf neutralem Platz bedeutet $diff = diff_{HA} = 0$ .

Die resultierende Gewinnerwartung $W_{e} = \frac{1}{10^{\frac{0}{400}}+1} = \frac{1}{10^{0}+1} = \frac{1}{1+1} = 0.5$ .

Das Siegerteam erhält dann $W - W_{e} = 1 - 0.5 = 1/2$ von $K$ und die Verlierermannschaft erhält $W - W_{e} = 0 - 0,5 = -1/2$ von $K$ .

Der Wert von $K$ selbst ist

$\begin{array}{rl} K * mult = 20 * (ln(\links|pts_{W}-pts_{L}\rechts|+1) * (\frac{2.2}{2.2+\frac{diff}{1000}}) \\\ = 20 * (ln(\left|7\right|+1) * (\frac{2.2}{2.2}) = 20 * ln(8) \\\ = ~41.59. \end{array}$
Der Gewinner hat also
$ELO^{after}_{Team_{W}} = ELO^{before}_{Team_{W}} + 0.5 * 41.59 = 1500+\frac{41.59}{2}$
während der Verlierer
$ELO^{after}_{team_{L}} = ELO^{before}_{team_{L}} + (-0.5) * 41.59 = 1500-\frac{41.59}{2}$ .

Neue Saison

Um die personelle Fluktuation in der Off-Season zu berücksichtigen, wird die Elo eines Teams um ein Drittel auf den Durchschnittswert von $1500$ regressiert.

$ELO^{start}_{curr}= (ELO^{end}_{last}-1500)*\frac{2}{3}+1500$

Signifikante CFL-Elo-Werte

Name	Elo
Top 0.1% All-Time	1750
Top 1% All-Time	1700
Top 5% All-.Time	1650
Durchschnittliches Grey Cup Team	1600
Durchschnittliches Conference Finals Team	1575
Durchschnittliches Conference Semi-Finals Team	1525