6 Dinge, die Sie wahrscheinlich'nicht über Pi wissen

Heute ist Pi-Tag. Sie wissen schon, der 14. März. 3/14 ist so etwas wie 3,14. Verstehen Sie? OK, das ist ein bisschen weit hergeholt, weil 3/14 wie ein Bruch aussieht und nicht wie Pi. Wie auch immer. Wir nennen es immer noch Pi-Tag.

Auch wenn das Datum des Pi-Tages ein wenig seltsam ist, ist Pi immer noch ziemlich genial. Hier sind einige Dinge, die Sie vielleicht nicht über Pi wissen.

Es gibt viele Näherungswerte für Pi

Wenn Sie einen Kreis haben, können Sie zwei Dinge messen: den Abstand um den Umfang des Kreises (Umfang) und den Abstand über den breitesten Teil des Kreises (Durchmesser). Egal wie groß Ihr Kreis ist, das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ist der Wert von Pi. Pi ist eine irrationale Zahl – Sie können sie nicht als nicht-unendliche Dezimalzahl aufschreiben. Das bedeutet, dass Sie einen Näherungswert für Pi brauchen.

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Die einfachste Näherung für Pi ist einfach 3. Ja, wir alle wissen, dass das falsch ist, aber es kann Ihnen zumindest einen Anfang geben, wenn Sie etwas mit Kreisen machen wollen. In der Vergangenheit haben viele Mathebücher Pi als 22/7 angegeben. Auch dies ist nur eine Annäherung, aber es ist besser als der Wert von 3 (tatsächlich ist 22/7 näher an Pi als einfach 3,14 zu schreiben).

Die frühe Geschichte der Mathematik umfasst viele Annäherungen an den Wert von Pi. Die gebräuchlichste Methode war, ein vielseitiges Polygon zu konstruieren und daraus den Umfang und den Durchmesser als Schätzung für Pi zu berechnen. Andere Kulturen haben Wege gefunden, Pi als unendliche Reihe zu schreiben—aber ohne einen Computer kann das ziemlich schwierig sein, sehr weit auszurechnen.

Sie können eine Reihe von Ziffern von Pi berechnen

Es gibt viele Methoden, Pi zu berechnen, aber ich werde auf die einfachste eingehen, um sie zu verstehen. Sie beginnt mit der inversen Tangensfunktion. Wir wissen, dass der inverse Tangens von 1 π/4 ist und wir können dies verwenden, um Pi zu berechnen. Nein, Sie können das nicht einfach in Ihren Taschenrechner stecken und Pi erhalten – das setzt voraus, dass Sie Pi bereits kennen. Stattdessen müssen wir eine Taylorreihenentwicklung des inversen Tangens durchführen.

Die Grundidee hinter der Taylorreihe ist, dass jede Funktion irgendwie wie eine Potenzreihe aussieht, wenn man sich nur auf einen Teil der Funktion konzentriert. Damit kann ich den inversen Tangens eines Wertes (x) als unendliche Reihe darstellen:

Das Expandieren dieser Funktion um den Punkt x = 1 sollte gleich π/4 sein. Das bedeutet, dass wir für π folgendes erhalten: (Hinweis: Feststehende Gleichung am 14.3.16)

Das war’s. Jetzt können Sie diese Formel so lange eintippen, wie Sie wollen – oder Sie lassen es einen Computer machen. Hier ist ein Programm, das die ersten 10.000 Terme der Reihe berechnet (drücken Sie einfach auf Play, um es zu starten):

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Siehst du, das ist gar nicht so schwer für einen Computer. Sie sehen aber, dass selbst nach 10.000 Termen der berechnete Wert immer noch von dem angenommenen Wert abweicht. Das ist nicht die beste Reihe, um Pi zu berechnen – aber das habe ich schon gesagt.

Sie können Pi mit Zufallszahlen berechnen

Das ist meine Lieblings-Pi-Aktivität. Hier ist die Idee. Generieren Sie Paare von Zufallszahlen zwischen 0 und 1, um zufällige x,y-Koordinaten zu erzeugen. Zeichnen Sie diese Punkte auf ein 1 x 1-Gitter und berechnen Sie ihren Abstand zum Ursprung. Einige dieser Punkte werden einen Abstand zum Ursprung haben, der kleiner als 1 ist, und einige werden größer als 1 sein. Die Punkte mit einem Abstand von weniger als 1 befinden sich „innerhalb eines Kreises“ – genau genommen ist es ein Viertel eines Kreises. Indem ich also die Punkte innerhalb des Kreises zähle und mit der Gesamtzahl der Punkte vergleiche, erhalte ich eine Schätzung der Fläche dieses Kreises, die π/4 sein sollte. Das war’s.

OK, hier ist das Programm.

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Sie sollten wirklich damit herumspielen (weil es Spaß macht). Versuchen Sie, die Anzahl der Punkte zu ändern oder ähnliches. Ich habe eine „rate(1000)“-Anweisung eingefügt, damit Sie sehen können, wie die Punkte hinzugefügt werden. Oh, lassen Sie es mehr als einmal laufen – jedes Mal erhalten Sie ein anderes Ergebnis wegen des Zufallsteils.

Es gibt eine Verbindung zwischen Pi und der Schwerkraft

Ziehen Sie Ihren Taschenrechner. Verwenden Sie 9,8 m/s2 für die lokale Gravitationskonstante (g). Versuchen Sie nun Folgendes:

Das ist ziemlich nah an dem akzeptierten Wert von Pi – und das ist kein Zufall. Er stammt von der ursprünglichen Version des Meters als Längeneinheit. Eine Möglichkeit, ein Meter zu definieren, besteht darin, ein Pendel zu erzeugen, das 1 Sekunde für eine Schwingung braucht (oder 2 Sekunden für die Periode). Wenn Sie sich erinnern, gibt es eine Beziehung zwischen Periode und Länge für ein Pendel (mit einer kleinen Schwingungsamplitude):

Setzen Sie 1 Meter für die Länge und 2 Sekunden für die Periode ein und bumm—das ist Ihre Verbindung. Hier ist eine ausführlichere Erklärung.

Pi ist in einer Gruppe von fünf Superzahlen

Das ist die Eulersche Identität.

Wenn Sie diese Gleichung nicht für verrückt und genial halten, dann haben Sie nicht aufgepasst. Sie stellt eine Beziehung zwischen diesen fünf Zahlen her:

• Pi: Sie wissen schon, Kreise und so.
• e: die natürliche Zahl. Diese Zahl ist sehr wichtig in der Infinitesimalrechnung und anderen Dingen (hier ist meine Erklärung von früher).
• i: die imaginäre Zahl. Mit dieser Zahl (die Quadratwurzel aus der negativen 1) können wir komplexe Zahlen schreiben (Kombination aus real und imaginär).
• 1: die multiplikative Identität. Es mag albern erscheinen, aber die Multiplikation mit 1 ist sehr wichtig – nehmen Sie nur die Umrechnung von Einheiten als Beispiel.
• 0: die additive Identität. Ohne die Zahl Null kann man keine Stellenwerte haben, also ist man auf ein Zahlensystem wie die römischen Zahlen angewiesen.

Aber warum funktioniert diese Gleichung? Das ist nicht so einfach zu beantworten. Natürlich könnte man die Eulersche Formel für Exponentiale verwenden:

Doch das ist so, als würde man Magie mit noch mehr Magie erklären. Für mich ist das Problem, dass wir uns Zahlen gerne als reale, zählbare Dinge vorstellen. Aber man kann eine imaginäre Zahl nicht zählen. Man kann sagen, dass 32 wie 3 Gruppen von 3 ist, aber was ist mit 31,32? Oder was ist mit 3-3,2i? Die sind ziemlich schwer vorstellbar. Wenn Sie diese Euler-Identität trotzdem verstehen wollen, schauen Sie sich diese Seite an.

152 Dezimalstellen von Pi sind wahrscheinlich genug

Stellen Sie sich eine große Kugel vor. Wenn Sie den Durchmesser dieser großen Kugel kennen, können Sie mit dem Wert von Pi auch den Umfang ermitteln. Nun ersetzen Sie die Kugel durch den Durchmesser des beobachtbaren Universums mit 93 Milliarden Lichtjahren (ja, ich weiß, das ist größer als 13 Milliarden Lichtjahre – es ist kompliziert). Wenn wir den exakten Wert von Pi nicht kennen, aber eine 152er-Stelle, dann kennen wir den exakten Umfang nicht. Die Unsicherheit des Umfangs ist jedoch kleiner als die Planck-Länge—die kleinste Einheit der Entfernungsmessung, die irgendeine Bedeutung hat. Man braucht sogar noch weniger Stellen von Pi, um eine Unsicherheit im Umfang zu erhalten, die kleiner ist als die Größe eines Atoms.

Sollten wir also einfach aufhören, nach immer mehr Stellen von Pi zu suchen? Nein, wir müssen die Suche nach einer besseren Appoximation von Pi fortsetzen. Wie auch immer, wer weiß, was wir in den Ziffern von Pi noch alles finden werden. Es gibt bereits den Feynman-Punkt, in dem es eine Folge von sechs 9en in einer Reihe gibt. Und vergessen Sie nicht diesen klassischen Comic von xkcd.

Hausaufgaben

Wollen Sie Pi Day Hausaufgaben? OK, hier sind ein paar Fragen für Sie.

• Finden Sie ein besseres numerisches Rezept zur Berechnung der Ziffern von Pi und machen Sie es (in Python oder was auch immer). Achtung, Sie müssen vielleicht so etwas wie das Decimal-Modul importieren, damit Sie viele Ziffern der Zahl anzeigen können.
• Berechnen Sie (oder schätzen Sie), wie viele Ziffern von Pi Sie brauchen, um den Umfang des Universums auf die Größe eines Atoms zu berechnen.
• Angenommen, die Ziffern von Pi sind zufällig, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Reihe von sieben 9en in einer Reihe zu finden? Wie viele Ziffern müssten Sie berechnen, um eine 50-prozentige Chance zu haben, diese sieben Neuner zu sehen?
• Gehen Sie zurück zur Zufallszahlenberechnung für Pi. Ändern Sie das Programm so, dass es die Zufallspunkte in drei Dimensionen statt nur in zwei aufzeichnet.