Darcy-Weisbach-Gleichung

Der Reibungsfaktor fD ist keine Konstante: Er hängt u.a. von den Eigenschaften des Rohres (Durchmesser D und Rauhigkeitshöhe ε), den Eigenschaften der Flüssigkeit (deren kinematische Viskosität ν ) und der Strömungsgeschwindigkeit ⟨v⟩ ab. Sie wurde mit hoher Genauigkeit innerhalb bestimmter Strömungsregime gemessen und kann durch die Verwendung verschiedener empirischer Beziehungen bewertet werden oder aus veröffentlichten Diagrammen abgelesen werden. Diese Diagramme werden oft als Moody-Diagramme bezeichnet, nach L. F. Moody, und daher wird der Faktor selbst manchmal fälschlicherweise Moody-Reibungsfaktor genannt. Er wird manchmal auch Blasius-Reibungsfaktor genannt, nach der von ihm vorgeschlagenen Näherungsformel.

Abbildung 1 zeigt den Wert von fD, wie er von Experimentatoren für viele verschiedene Flüssigkeiten, über einen weiten Bereich von Reynoldszahlen und für Rohre verschiedener Rauhigkeitshöhen gemessen wurde. Es gibt drei breite Regime der Flüssigkeitsströmung, die in diesen Daten vorkommen: laminar, kritisch und turbulent.

Laminarer Zustand

Für laminare (glatte) Strömungen ist es eine Konsequenz des Poiseuille’schen Gesetzes (das von einer exakten klassischen Lösung für die Fluidströmung stammt), dass

f D = 64 R e , {\displaystyle f_{\mathrm {D} }={\frac {64}{\mathrm {Re} }},}

wobei Re die Reynoldszahl ist

R e = ρ μ ⟨ v ⟩ D = ⟨ v ⟩ D ν , {\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho }{\mu }}\langle v\rangle D={\frac {\langle v\rangle D}{\nu }},

und wobei μ die Viskosität der Flüssigkeit ist und

ν = μ ρ {\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}

ist als kinematische Viskosität bekannt. In diesem Ausdruck für die Reynoldszahl wird als charakteristische Länge D der hydraulische Durchmesser des Rohres angenommen, der bei einem voll durchströmten zylindrischen Rohr gleich dem Innendurchmesser ist. In den Abbildungen 1 und 2 des Reibungsfaktors in Abhängigkeit von der Reynoldszahl zeigt das Regime Re < 2000 eine laminare Strömung; der Reibungsfaktor wird durch die obige Gleichung gut dargestellt.

In der Tat ist der Reibungsverlust im laminaren Regime genauer charakterisiert, da er proportional zur Strömungsgeschwindigkeit und nicht proportional zum Quadrat dieser Geschwindigkeit ist: man könnte die Darcy-Weisbach-Gleichung als nicht wirklich anwendbar im laminaren Strömungsregime betrachten.

Bei laminarer Strömung entsteht der Reibungsverlust durch die Übertragung des Impulses von der Flüssigkeit im Zentrum der Strömung auf die Rohrwand über die Viskosität der Flüssigkeit; in der Strömung sind keine Wirbel vorhanden. Beachten Sie, dass der Reibungsverlust unempfindlich gegenüber der Rohrrauhigkeitshöhe ε ist: die Strömungsgeschwindigkeit in der Nähe der Rohrwand ist Null.

Kritisches Regime

Für Reynoldszahlen im Bereich 2000 < Re < 4000 ist die Strömung instationär (variiert stark mit der Zeit) und variiert von einem Abschnitt des Rohres zum anderen (ist nicht „voll entwickelt“). Die Strömung beinhaltet die beginnende Bildung von Wirbeln; sie ist nicht gut verstanden.

Turbulentes Regime

Für Reynoldszahlen größer als 4000 ist die Strömung turbulent; der Strömungswiderstand folgt der Darcy-Weisbach-Gleichung: er ist proportional zum Quadrat der mittleren Strömungsgeschwindigkeit. Über einen Bereich von vielen Größenordnungen von Re (4000 < Re < 108) variiert der Reibungsfaktor weniger als eine Größenordnung (0,006 < fD < 0,06). Innerhalb des turbulenten Strömungsregimes kann die Art der Strömung weiter unterteilt werden in ein Regime, in dem die Rohrwand effektiv glatt ist, und eines, in dem ihre Rauhigkeitshöhe hervorsticht.

Regime mit glatten RohrenBearbeiten

Wenn die Rohroberfläche glatt ist (die „Glattrohr“-Kurve in Abbildung 2), kann die Änderung des Reibungsfaktors mit Re durch die Kármán-Prandtl-Widerstandsgleichung für turbulente Strömung in glatten Rohren modelliert werden, wobei die Parameter entsprechend angepasst werden

1 f D = 1.930 log ( R e f D ) – 0,537. {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=1.930\log \left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}\right)-0.537.}

Die Zahlen 1,930 und 0,537 sind phänomenologisch; diese spezifischen Werte liefern eine recht gute Anpassung an die Daten. Das Produkt Re√fD (genannt „Reibungs-Reynolds-Zahl“) kann wie die Reynolds-Zahl als ein (dimensionsloser) Parameter der Strömung betrachtet werden: bei festen Werten von Re√fD ist auch der Reibungsfaktor fest.

In der Kármán-Prandtl-Widerstandsgleichung kann fD in geschlossener Form als analytische Funktion von Re durch die Verwendung der Lambert-W-Funktion ausgedrückt werden:

1 f D = 1.930 ln ( 10 ) W ( 10 – 0,537 1,930 ln ( 10 ) 1,930 R e ) = 0,838 W ( 0,629 R e ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}={\frac {1.930}{\ln(10)}}W\left(10^{\frac {-0.537}{1.930}}{\frac {\ln(10)}{1.930}}\mathrm {Re} \right)=0,838\ W(0,629\ \mathrm {Re} )}

In diesem Strömungsregime sind viele kleine Wirbel für den Impulsübertrag zwischen der Masse des Fluids und der Rohrwand verantwortlich. Mit zunehmender Reibungs-Reynoldszahl Re√fD nähert sich das Profil der Fluidgeschwindigkeit asymptotisch der Wand an, wodurch mehr Impuls auf die Rohrwand übertragen wird, wie in der Blasius-Grenzschichttheorie modelliert.

Rauhrohr-Regime

Wenn die Rauhigkeitshöhe ε der Rohroberfläche signifikant ist (typischerweise bei hoher Reynoldszahl), weicht der Reibungsfaktor von der Kurve des glatten Rohres ab und nähert sich schließlich einem asymptotischen Wert („Rauhrohr“-Regime). In diesem Regime variiert der Strömungswiderstand mit dem Quadrat der mittleren Strömungsgeschwindigkeit und ist unempfindlich gegenüber der Reynoldszahl. Hier ist es sinnvoll, einen weiteren dimensionslosen Parameter der Strömung einzusetzen, die Rauheits-Reynoldszahl

R ∗ = 1 8 ( R e f D ) ε D {\displaystyle R_{*}={\frac {1}{\sqrt {8}}}\left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D}}\,\right){\frac {\varepsilon }{D}}

wobei die Rauhigkeitshöhe ε auf den Rohrdurchmesser D skaliert ist.

Es ist anschaulich, die Rauheitsfunktion B darzustellen:

B ( R ∗ ) = 1 1.930 f D + log ( 1.90 8 ⋅ ε D ) {\displaystyle B(R_{*})={\frac {1}{1.930{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}+\log \left({\frac {1.90}{\sqrt {8}}}\cdot {\frac {\varepsilon }{D}}\right)}

Abbildung 3 zeigt B gegen R∗ für die rauen Rohrdaten von Nikuradse, Shockling und Langelandsvik.

In dieser Ansicht fallen die Daten bei verschiedenen Rauheitsverhältnissen ε/D zusammen, wenn sie gegen R∗ aufgetragen werden, was eine Skalierung in der Variable R∗ zeigt. Die folgenden Merkmale sind vorhanden:

• Wenn ε = 0 ist, dann ist R∗ identisch Null: Die Strömung ist immer im Glattrohrregime. Die Daten für diese Punkte liegen am linken Rand der Abszisse und befinden sich nicht innerhalb des Rahmens des Graphen.
• Wenn R∗ < 5 ist, liegen die Daten auf der Linie B(R∗) = R∗; die Strömung befindet sich im Glattrohrbereich.
• Wenn R∗ > 100, nähern sich die Daten asymptotisch einer horizontalen Linie; sie sind unabhängig von Re, fD und ε/D.
• Der Zwischenbereich von 5 < R∗ < 100 stellt einen Übergang von einem Verhalten zum anderen dar. Die Daten weichen sehr langsam von der Linie B(R∗) = R∗ ab, erreichen ein Maximum bei R∗ = 10 und fallen dann auf einen konstanten Wert.

Eine Anpassung an diese Daten im Übergang von der glatten Rohrströmung zur rauen Rohrströmung verwendet einen exponentiellen Ausdruck in R∗, der das richtige Verhalten für 1 < R∗ < 50 (den Übergang vom glatten Rohrregime zum rauen Rohrregime) sicherstellt:

1 f D = – 1.930 log ( 1.90 R e f D ( 1 + 0.34 R ∗ exp – 11 R ∗ ) ) , {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-1.930\log \left({\frac {1.90}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+0.34R_{*}\exp {\frac {-11}{R_{*}}}\right)\right),}

Diese Funktion hat die gleichen Werte für ihren Term mit der Kármán-Prandtl-Widerstandsgleichung gemeinsam, plus einen Parameter 0.34, um das asymptotische Verhalten für R∗ → ∞ zusammen mit einem weiteren Parameter, 11, anzupassen, um den Übergang von glatter zu rauer Strömung zu regeln. Es ist in Abbildung 3 dargestellt.

Die Colebrook-White-Relation passt den Reibungsfaktor mit einer Funktion der Form

1 f D = – 2.00 log ( 2.51 R e f D ( 1 + R ∗ 3.3 ) . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2.00\log \left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+{\frac {R_{*}}{3.3}}\right)\right).}

Diese Beziehung hat das richtige Verhalten bei extremen Werten von R∗, wie die beschriftete Kurve in Abbildung 3 zeigt: wenn R∗ klein ist, ist sie konsistent mit glatter Rohrströmung, wenn sie groß ist, ist sie konsistent mit rauer Rohrströmung. Allerdings überschätzt seine Leistung im Übergangsbereich den Reibungsfaktor um ein Vielfaches. Colebrook erkennt die Diskrepanz zu Nikuradzes Daten an, argumentiert aber, dass seine Beziehung mit den Messungen an kommerziellen Rohren konsistent ist. In der Tat unterscheiden sich solche Rohre sehr von denen, die von Nikuradse sorgfältig präpariert wurden: Ihre Oberflächen sind durch viele verschiedene Rauhigkeitshöhen und zufällige räumliche Verteilung der Rauhigkeitspunkte gekennzeichnet, während die von Nikuradse Oberflächen mit gleichmäßiger Rauhigkeitshöhe haben, wobei die Punkte extrem dicht gepackt sind.

Berechnung des Reibungsfaktors aus seiner ParametrisierungBearbeiten

Für turbulente Strömungen gibt es Methoden, den Reibungsfaktor fD zu finden, indem man ein Diagramm wie das Moody-Diagramm verwendet oder Gleichungen wie die Colebrook-White-Gleichung (auf der das Moody-Diagramm basiert) oder die Swamee-Jain-Gleichung löst. Während die Colebrook-White-Relation im allgemeinen Fall eine iterative Methode ist, ermöglicht die Swamee-Jain-Gleichung die direkte Bestimmung von fD für den vollen Durchfluss in einem kreisförmigen Rohr.

Direkte Berechnung bei bekanntem Reibungsverlust S

In typischen technischen Anwendungen gibt es eine Reihe von gegebenen oder bekannten Größen. Die Erdbeschleunigung g und die kinematische Viskosität des Fluids ν sind bekannt, ebenso der Durchmesser des Rohres D und seine Rauhigkeitshöhe ε. Wenn auch der Druckverlust pro Längeneinheit S eine bekannte Größe ist, dann kann der Reibungsfaktor fD direkt aus der gewählten Anpassungsfunktion berechnet werden. Die Lösung der Darcy-Weisbach-Gleichung für √fD,

f D = 2 g S D ⟨ v ⟩ {\displaystyle {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}={\frac {\sqrt {2gSD}}{\langle v\rangle }}

Wir können nun Re√fD ausdrücken:

R e f D = 1 ν 2 g S D 3 {\displaystyle \mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}={\frac {1}{\nu }}{\sqrt {2g}}{\sqrt {S}}{\sqrt {D^{3}}}}

Der Ausdruck der Rauheits-Reynoldszahl R∗,

R ∗ = ε D ⋅ R e f D ⋅ 1 8 = 1 2 g ν ε S D {\displaystyle {\begin{aligned}R_{*}&={\frac {\varepsilon }{D}}\cdot \mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}\cdot {\frac {1}{\sqrt {8}}\&={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {g}{\nu }}\varepsilon {\sqrt {S}}{\sqrt {D}}\end{aligned}}}

Wir haben die beiden Parameter, die benötigt werden, um den Reibungsfaktor fD, die Strömungsgeschwindigkeit ⟨v⟩ und den Volumenstrom Q in die Colebrook-White-Relation oder eine andere Funktion einzusetzen.

Verwechslung mit dem Fanning-Reibungsfaktor

Der Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor fD ist viermal größer als der Fanning-Reibungsfaktor f, daher muss darauf geachtet werden, welcher von beiden in einer Tabelle oder Gleichung mit „Reibungsfaktor“ gemeint ist. Von den beiden wird der Darcy-Weisbach-Faktor fD häufiger von Bau- und Maschinenbauingenieuren und der Fanning-Faktor f von Chemieingenieuren verwendet, aber es sollte darauf geachtet werden, den richtigen Faktor zu identifizieren, unabhängig von der Quelle der Tabelle oder Formel.

Beachten Sie, dass

Δ p = f D ⋅ L D ⋅ ρ ⟨ v ⟩ 2 2 = f ⋅ L D ⋅ 2 ρ ⟨ v ⟩ 2 {\displaystyle \Delta p=f_{\mathrm {D} }\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {\frac {\rho {\langle v\rangle }^{2}}{2}}=f\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {2\rho {\langle v\rangle }^{2}}}

Die meisten Diagramme oder Tabellen geben die Art des Reibungsfaktors an oder liefern zumindest die Formel für den Reibungsfaktor bei laminarer Strömung. Wenn die Formel für laminare Strömung f = 16/Re lautet, handelt es sich um den Fanning-Faktor f, und wenn die Formel für laminare Strömung fD = 64/Re lautet, handelt es sich um den Darcy-Weisbach-Faktor fD.

Welcher Reibungsfaktor in einem Moody-Diagramm eingezeichnet ist, kann durch Inspektion ermittelt werden, wenn der Verlag die oben beschriebene Formel nicht beigefügt hat:

1. Beobachten Sie den Wert des Reibungsfaktors für laminare Strömung bei einer Reynoldszahl von 1000.
2. Wenn der Wert des Reibungsfaktors 0,064 ist, dann ist der Darcy-Reibungsfaktor im Moody-Diagramm eingezeichnet. Beachten Sie, dass die Nicht-Null-Ziffern in 0,064 der Zähler in der Formel für den laminaren Darcy-Reibungsfaktor sind: fD = 64/Re.
3. Wenn der Wert des Reibungsfaktors 0,016 ist, dann wird der Fanning-Reibungsfaktor im Moody-Diagramm aufgetragen. Beachten Sie, dass die Nicht-Null-Stellen in 0,016 der Zähler in der Formel für den laminaren Fanning-Reibungsfaktor sind: f = 16/Re.

Das obige Verfahren ist ähnlich für jede verfügbare Reynoldszahl, die eine ganzzahlige Potenz von zehn ist. Es ist nicht notwendig, sich den Wert 1000 für dieses Verfahren zu merken – nur, dass eine ganzzahlige Zehnerpotenz für diesen Zweck von Interesse ist.