Die Newtonsche Konstante der Gravitation-eine zu schwer zu messende Konstante? Eine Einführung

Es ist allgemein anerkannt, dass die Größe der Kraft, die zwei kugelförmige Körper der Massen M1 und M2 anzieht, die durch einen Abstand r getrennt sind, durch das Newtonsche Gravitationsgesetz gegeben ist

Die Konstante, G, bestimmt die Stärke des Newton’schen inversen quadratischen Gesetzes in einem bestimmten System physikalischer Einheiten und ist, nicht überraschend, als Newton’sche Gravitationskonstante bekannt. Sie gilt als eine fundamentale Naturkonstante. Der aktuelle Wert für G in den 2010 von CODATA empfohlenen Werten der physikalischen Grundkonstanten ist die beste Schätzung angesichts der zu diesem Zeitpunkt verfügbaren experimentellen Ergebnisse und lautet G=6,67384(80)×10-11 kg-1 m3 s-2. Die derzeitige Streuung der Werte nähert sich 0,05 % (oder 500 Teile pro Million), was mehr als das Zehnfache der Unsicherheiten bei jeder Messung ist, und es scheint daher, dass wir G nur bis zu drei signifikanten Zahlen kennen! Dies ist sehr schlecht im Vergleich zu anderen physikalischen Konstanten, von denen viele Unsicherheiten in der Größenordnung von Teilen in 108 haben, und die Konstante, die die elektronische Struktur der Atome bestimmt, die Rydberg-Konstante, hat eine Unsicherheit von nur vier Teilen in 1012.

Warum ist G so schlecht bekannt, warum haben die jüngsten Experimente so stark unterschiedliche Ergebnisse geliefert und wie sollten wir jetzt vorgehen, um das Problem zu lösen? Mit diesen Fragen beschäftigte sich die Tagung am 27. und 28. Februar 2014, deren Beiträge in dieser Ausgabe der Philosophical Transactions A veröffentlicht wurden.

Gegenwärtig nimmt die Gravitation eine Sonderstellung in der Physik ein, da sie die einzige Wechselwirkung ist, die nicht durch eine Quantentheorie beschrieben werden kann. Das Newtonsche Gesetz wird als eine Annäherung an Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie gesehen, und beide Theorien betrachten Raum und Zeit als kontinuierliche klassische Größen, während die Theorien, die den Elektromagnetismus und die Kernkräfte beschreiben, auf konservierten Quanten beruhen. Außerdem ist die Gravitation die mit Abstand schwächste Kraft. Eine direkte Folge davon ist, dass die Energie, bei der alle Kräfte eine vergleichbare Stärke haben, in der Nähe der sogenannten Planck-Skala liegt, die etwa 15 Größenordnungen höher ist als die Energien, die derzeit vom Large Hadron Collider erforscht werden. Diese Tatsache stellt die Gültigkeit des Standardmodells der Teilchenphysik in Frage, da man davon ausgeht, dass diese Theorie in Gegenwart einer solch immensen fundamentalen Energieskala nicht stabil sein kann. Auf der anderen Seite stammt unser Vertrauen in die Newtonsche und Einsteinsche Gravitation aus sorgfältig kontrollierten Experimenten. Die Universalität des freien Falls ist eine empirische Grundlage der Einsteinschen Gravitationstheorie und besagt, dass die freie Beschleunigung von Materie in einem Gravitationsfeld nicht von ihrer chemischen Zusammensetzung abhängt. Labortests der Universalität des freien Falls und des Newton’schen Gesetzes des umgekehrten Quadrats auf der Skala von weniger als 1 m verwenden die gleichen Messgeräte und -techniken wie die, die bei der Bestimmung von G verwendet werden, wie wir weiter unten beschreiben. Um jedoch die empfindlichsten Tests durchzuführen und die Messtechnik zu entlasten, sind diese Experimente geschickt so konzipiert, dass sie nur dann ein wesentliches Signal liefern, wenn sich die Natur in der von den Experimentatoren gesuchten Weise falsch verhält. Bei der Bestimmung von G müssen wir eigentlich alle relevanten Größen in physikalischen Einheiten messen und die Metrologie frontal angehen.

Der eigentliche Zahlenwert von G hat in der Physik wenig Bedeutung: Die Bahnen der Planeten in unserem Sonnensystem folgen bekanntlich exakt dem Newtonschen Gesetz. Die Bahnbeschleunigung eines Planeten um die Sonne beispielsweise wird mit hoher Genauigkeit durch das Produkt aus Sonnenmasse und G bestimmt. Findet man also einen neuen Wert für G, der um, sagen wir, 0,05% größer ist als der in den Lehrbüchern angegebene, reduziert sich unsere Schätzung der Sonnenmasse einfach um diesen Betrag. Gegenwärtig haben wir keine Modelle für die Struktur der Sonne, die ihre Masse auf diesem Niveau sinnvoll einschränken.

Zusätzlich zur Mystik trägt die Tatsache bei, dass die Schwerkraft die Kraft ist, die uns als Menschen auf der Erde am vertrautesten ist. Es ist nicht verwunderlich, dass Berichte in den Medien über signifikante Diskrepanzen zwischen experimentellen Bestimmungen des Wertes der Newtonschen Gravitationskonstante die öffentliche Fantasie anregen können, wie es die Veröffentlichung unseres Ergebnisses im Oktober 2013 tat.

Was also zählt, ist nicht der tatsächliche Wert von G selbst (plus/minus ein paar Prozent), sondern seine Unsicherheit. Die wirkliche Bedeutung der Genauigkeit von G liegt wohl darin, dass sie in der Populärkultur als Maß dafür genommen werden kann, wie gut wir unsere vertrauteste Kraft verstehen: Die abweichenden Ergebnisse können eine neue Physik bedeuten oder sie können zeigen, dass wir die Metrologie der Messung schwacher Kräfte nicht verstehen. Aufgrund des mangelnden theoretischen Verständnisses der Gravitation, wie bereits angedeutet, gibt es eine Fülle von respektablen Theorien, die Verletzungen des inversen quadratischen Gesetzes oder Verstöße gegen die Universalität des freien Falls vorhersagen. In der Tat wächst die Ansicht, dass G nicht wirklich universell ist und zum Beispiel auf astrophysikalischen Skalen von der Materiedichte abhängen kann. Ein Missverständnis der Metrologie der Physik der schwachen Kraft könnte wiederum bedeuten, dass die experimentellen Tests, die das inverse Quadratgesetz und die Universalität des freien Falls bisher etabliert haben, auf eine subtile Weise fehlerhaft sind. Das ist eine potenziell spannende Situation und erklärt vielleicht das allgemeine Interesse an unserer scheinbar banalen und mühsamen Arbeit an G.

Zur Zeit Newtons und in der Tat bis zum neunzehnten Jahrhundert gab es das Konzept einer fundamentalen Konstante nicht. Newton drückte sein Gravitationsgesetz nicht in einer Weise aus, die explizit eine Konstante G enthielt, ihr Vorhandensein wurde impliziert, als hätte sie einen Wert gleich 1. Erst 1873 führten Cornu und Bailey explizit ein Symbol für die Kopplungskonstante in Newtons Gravitationsgesetz ein, sie nannten sie f. Ihre heutige Bezeichnung G erhielt sie erst irgendwann in den 1890er Jahren.

Die Entwicklung des Konzepts der Fundamentalkonstanten war eng mit der Entwicklung von Systemen physikalischer Einheiten verbunden. Das internationale Einheitensystem (SI) wird ab 2018 auf festen Zahlenwerten von sieben Fundamentalkonstanten basieren, darunter die Lichtgeschwindigkeit und die Plancksche Konstante, die in der neuen Definition des Kilogramms auftaucht. Könnten wir das Kilogramm nicht in Form von G definieren? Zum Beispiel ist das Kilogramm die Einheit der Masse, seine Größe wird durch die Festlegung des numerischen Wertes von G gleich 6,67384…×10-11 kg-1 m3 s-2exakt festgelegt. Im Prinzip könnten wir dies tun, aber das Problem wäre, dass jede praktische Messung der Masse eines Objekts in Bezug auf seine Anziehungskraft auf ein anderes eine Genauigkeit von nur ein paar Teile in 104 haben würde. Das ist etwa vier Größenordnungen von der Präzision entfernt, die wir für unsere Massennormale wirklich brauchen. Warum ist das so? Die Hauptantwort ist einfach, dass die Schwerkraft auf der Skala von Massen in Laborgröße zu schwach ist, um mit annähernd der erforderlichen Präzision messbar zu sein. Die Gravitationskraft zwischen einem Paar 1-kg-Kupferkugeln, die sich gerade berühren, beträgt etwa ein Tausendmillionstel des Gewichts jeder Kugel, d.h. etwa 10-8 N. Um diese Kraft zu messen, muss ein Weg gefunden werden, die überwältigende nach unten gerichtete Gravitationskraft, die auf beide Kugeln wirkt, aufzuheben.

Eine nahezu perfekte Lösung wurde gegen Ende des achtzehnten Jahrhunderts von Rev. John Michell gefunden, der die Torsionswaage erfand. Indem er zwei am Ende des Torsionswaagenarms hängende Kugeln (die wir heute als Testmassen bezeichnen) an einem langen, dünnen Kupfer-Torsionsdraht ausbalancierte, erkannte er, dass die abwärts gerichtete Schwerkraft neutralisiert wird, so dass die hängenden Kugeln auf eine seitwärts gerichtete Schwerkraft reagieren, die von zwei viel größeren Kugeln (den Quellmassen) erzeugt wird, die bewegt werden können, um eine positive und negative Rotation der Waage zu erzeugen. Die Drehmomentkonstante c des Drahtes kann durch Messung der freien Schwingungsdauer (2π/ω) der Torsionsanordnung und unter Verwendung der einfachen Beziehung c=Iω2 gefunden werden, wobei I das Trägheitsmoment um die durch den Torsionsdraht dargestellte vertikale Achse ist. Der Apparat wurde nach Michells Tod von Henry Cavendish zur Messung von G eingesetzt. Seine Veröffentlichung von 1798 beschreibt in exquisiter Ausführlichkeit das wohl erste Präzisionsexperiment in der Physik und die Cavendish’sche Torsionswaage war eines der bedeutendsten physikalischen Geräte, die je erfunden wurden. In einer Zusammenstellung veröffentlichter Arbeiten zur Messung der Gravitationskonstante listet Gillies etwa 350 Arbeiten auf, von denen sich fast alle auf Arbeiten beziehen, die mit einer Torsionswaage durchgeführt wurden. Von den etwa einem Dutzend Experimenten, die in den letzten 30 Jahren durchgeführt wurden, sind bis auf zwei oder drei alle mit Torsionswaagen gemacht worden. Sie wurden nicht durch Holzkästen wie bei Cavendish, sondern durch Vakuumkammern geschützt, aber das Grundprinzip der Trennung der winzigen Gravitationskraft von der nach unten gerichteten Gravitationskraft war das von Michell erfundene.

Die Beiträge in dieser Ausgabe zeigen moderne Torsionswaagen und auch neuartige Methoden zur Messung von G, die nicht auf der Torsionswaage basieren. Allen gemeinsam ist die Forderung nach genauen Messungen von Masse, Länge und Zeit (die Einheit von G ist kg-1 m3 s-2) und oft auch des Winkels, dessen Einheit natürlich die Dimension 1 hat. Der Schlüssel zu allen Arbeiten ist die Bewertung der Unsicherheit und in den meisten Arbeiten nimmt dies einen bedeutenden Platz ein. Auch bei der Auswertung der Ergebnisse, die zu einer Schätzung des besten Wertes führen, ist die vergleichende Untersuchung der Unsicherheiten die zentrale Aufgabe der CODATA Task Group on Fundamental Constants.

Das Ergebnis der Diskussion nach der Präsentation der Papiere auf der Tagung der Royal Society war recht eindeutig und wird am Ende dieser Ausgabe wiedergegeben. Es war klar, dass ein oder zwei weitere Festlegungen von G durch einzelne Gruppen das Problem nicht lösen würden. Stattdessen wurde eine koordinierte internationale Anstrengung gefordert, bei der eine kleine Anzahl von Experimenten durchgeführt werden sollte, die jeweils von einem internationalen Beirat, der sich aus denjenigen zusammensetzt, die bereits Erfahrung mit solchen Arbeiten haben, sehr detailliert verfolgt werden sollten.

Footnotes

†Emeritus Director BIPM.

Ein Beitrag von 13 zu einem Theo Murphy Meeting Issue ‚The Newtonian constant of gravitation, a constant too difficult to measure?‘