Dreiecks-Kongruenzpostulate: SAS, ASA, SSS, AAS, HL
Kongruente Dreiecke sind Dreiecke mit identischen Seiten und Winkeln. Die drei Seiten des einen sind genau gleich groß wie die drei Seiten des anderen. Die drei Winkel des einen sind jeweils gleich groß wie die des anderen.
Dreieckskongruenzpostulat
Es gibt fünf Möglichkeiten, zwei Dreiecke kongruent zu finden:
- SSS, oder Side Side Side
- SAS, oder Side Angle Side
- ASA, oder Angle Side Side
- AAS, oder Angle Angle Side
- HL, oder Hypotenusenschenkel, nur für rechtwinklige Dreiecke
Eingeschlossene Teile
Ein eingeschlossener Winkel liegt zwischen zwei genannten Seiten. Im folgenden △CAT liegt das eingeschlossene ∠A zwischen den Seiten t und c:
Eine eingeschlossene Seite liegt zwischen zwei benannten Winkeln des Dreiecks.
Seiten-Seiten-Postulat
Ein Postulat ist eine Aussage, die ohne Beweis für wahr gehalten wird. Das SSS-Postulat sagt uns,
Die Kongruenz von Seiten wird mit kleinen Schraffuren dargestellt, etwa so: ∥. Bei zwei Dreiecken können die Seiten mit einer, zwei und drei Schraffuren markiert werden.
Wenn △ACE Seiten hat, die im Maß mit den drei Seiten von △HUM übereinstimmen, dann sind die beiden Dreiecke nach SSS kongruent:
Seiten-Winkel-Seiten-Postulat
Das SAS-Postulat sagt uns,
△HUG und △LAB haben jeweils einen Winkel von genau 63°. Die korrespondierenden Seiten g und b sind kongruent. Die Seiten h und l sind kongruent.
Eine Seite, ein eingeschlossener Winkel und eine Seite auf △HUG und auf △LAB sind kongruent. Nach SAS sind die beiden Dreiecke also kongruent.
Winkel-Seiten-Winkel-Postulat
Dieses Postulat sagt,
Wir haben △MAC und △CHZ, wobei die Seite m kongruent zur Seite c ist. ∠A ist kongruent zu ∠H, während ∠C kongruent zu ∠Z ist. Nach dem ASA-Postulat sind diese beiden Dreiecke kongruent.
Winkel-Winkel-Seiten-Satz
Gegeben sind zwei Winkel und die nicht eingeschlossene Seite, die Seite gegenüber einem der Winkel. Der Winkel-Winkel-Seiten-Satz sagt,
Hier sind kongruent △POT und △LID, mit zwei gemessenen Winkeln von 56° und 52°, und einer nicht eingeschlossenen Seite von 13 Zentimetern:
Nach dem AAS-Satz sind diese beiden Dreiecke kongruent.
HL-Postulat
Ausschließlich für rechtwinklige Dreiecke besagt das HL-Postulat,
Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist die längste Seite. Die beiden anderen Seiten sind Schenkel. Jedes Bein kann zwischen den beiden Dreiecken kongruent sein.
Hier sind rechtwinklige Dreiecke △COW und △PIG, deren Hypotenusen der Seiten w und i kongruent sind. Die Schenkel o und g sind ebenfalls kongruent:
Nach dem HL-Postulat sind diese beiden Dreiecke also kongruent, auch wenn sie in unterschiedliche Richtungen zeigen.
Beweis durch Kongruenz
Gegeben: △MAG und △ICG
MC ≅ AI
AG ≅ GI
Beweisen: △MAG ≅ △ICG
Aussage Begründung
MC ≅ AI Gegeben
AG ≅ GI
∠MGA ≅ ∠ IGC Senkrechte Winkel sind kongruent
△MAG ≅ △ICG Seitenwinkel Seite
Wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel eines Dreiecks kongruent zu zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel eines anderen Dreiecks sind, dann sind die beiden Dreiecke kongruent.
Nächste Lektion:
Dreiecks-Kongruenz-Sätze