6 cosas que probablemente no'sabías sobre Pi
Hoy es el Día de Pi. Ya sabes, el 14 de marzo. 3/14 es algo así como 3,14. ¿Lo entiendes? Vale, es un poco exagerado porque 3/14 parece una fracción y no Pi. Lo que sea. Seguimos llamándolo Día de Pi.
Aunque la fecha del Día de Pi sea un poco rara, Pi sigue siendo bastante impresionante. Aquí hay algunas cosas que quizás no sepas sobre Pi.
Hay muchas aproximaciones para Pi
Si tienes un círculo, puedes medir dos cosas: la distancia alrededor del perímetro del círculo (circunferencia) y la distancia a través de la parte más ancha del círculo (diámetro). No importa lo grande que sea tu círculo, la relación entre la circunferencia y el diámetro es el valor de Pi. Pi es un número irracional: no puedes escribirlo como un decimal no infinito. Esto significa que necesitas un valor aproximado para Pi.
La aproximación más sencilla para Pi es sólo 3. Sí, todos sabemos que es incorrecta, pero al menos puede servirte para empezar si quieres hacer algo con círculos. En el pasado, muchos libros de matemáticas indicaban que Pi era 22/7. De nuevo, esto es sólo una aproximación, pero es mejor que el valor de 3 (en realidad 22/7 está más cerca de Pi que sólo escribir 3,14).
La historia temprana de las matemáticas cubre muchas aproximaciones del valor de Pi. El método más común sería construir un polígono de muchos lados y utilizarlo para calcular el perímetro y el diámetro como una estimación de Pi. Otras culturas encontraron formas de escribir Pi como una serie infinita–pero sin un ordenador, esto puede ser algo difícil de calcular muy lejos.
Puedes calcular un montón de dígitos de Pi
Hay muchos métodos para calcular Pi pero voy a repasar el más sencillo de entender. Comienza con la función tangente inversa. Sabemos que la tangente inversa de 1 es π/4 y podemos usarla para calcular Pi. No, no puedes simplemente meterlo en tu calculadora y obtener Pi—eso supone que ya conoces Pi. En su lugar, tenemos que hacer una expansión de la serie de Taylor de la tangente inversa.
La idea básica detrás de la serie de Taylor es que cualquier función se parece a una serie de potencias si te centras en una parte de esa función. Usando esto, puedo representar la tangente inversa de algún valor (x) como una serie infinita:
Expandiendo esta función sobre el punto x = 1 debe ser igual a π/4. Esto significa que obtenemos lo siguiente para π: (nota: ecuación fija el 14/3/16)
Eso es todo. Ahora puedes simplemente enchufar esta fórmula durante todo el tiempo que quieras… o puedes pedirle a un ordenador que lo haga. Aquí tienes un programa que calcula los primeros 10.000 términos de la serie (sólo tienes que pulsar el play para ejecutarlo):
Verás, eso no es tan difícil para un ordenador. Sin embargo, puedes ver que incluso después de 10.000 términos el valor calculado sigue siendo diferente al valor aceptado. Esta no es la mejor serie para calcular Pi… pero ya lo dije antes.
Puedes calcular Pi con números aleatorios
Esta es mi actividad favorita sobre Pi. La idea es la siguiente. Genera pares de números aleatorios entre 0 y 1 para crear coordenadas x,y aleatorias. Traza estos puntos en una cuadrícula de 1 por 1 y calcula su distancia al origen. Algunos de ellos tendrán una distancia al origen menor que 1 y otros serán mayores que 1. Los puntos con una distancia menor que 1 están «dentro de un círculo», en realidad es un cuarto de círculo. Entonces, contando los puntos dentro del círculo comparados con el total de puntos obtengo una estimación del área de este círculo que debe ser π/4. Eso es todo.
Bien, aquí está el programa.
Realmente deberías jugar con esto (porque es divertido). Prueba a cambiar el número de puntos o algo así. Incluí una declaración «rate(1000)» para que puedas ver los puntos que se añaden. Oh, ejecútalo más de una vez… cada vez obtendrás un resultado diferente debido a la parte aleatoria.
Hay una conexión entre Pi y la gravedad
Saca tu calculadora. Utiliza 9,8 m/s2 para la constante gravitatoria local (g). Ahora prueba esto:
Eso se acerca bastante al valor aceptado de Pi–y no es una coincidencia. Viene de la versión original del metro como unidad de longitud. Una forma de definir un metro es crear un péndulo que tarde 1 segundo en hacer una oscilación (o 2 segundos para el periodo). Si recuerdas, existe una relación entre el periodo y la longitud para un péndulo (con una pequeña amplitud de oscilación):
Pon 1 metro para la longitud y 2 segundos para el periodo y boom—ahí tienes tu conexión. Aquí tienes una explicación más detallada.
Pi está en un grupo de cinco supernúmeros
Esto es la Identidad de Euler.
Si no crees que esa ecuación es una locura y una maravilla, es que no estás prestando atención. Hace una relación entre estos cinco números:
- Pi: ya sabes, círculos y demás.
- e: el número natural. Este número es muy importante en el cálculo y otras cosas (aquí está mi explicación de antes).
- i: el número imaginario. Con este número (la raíz cuadrada de 1 negativo) podemos escribir números complejos (combinación de real e imaginario).
- 1: la identidad multiplicativa. Puede parecer una tontería, pero multiplicar por uno es muy importante; basta con tomar como ejemplo las conversiones de unidades.
- 0: la identidad aditiva. Sin el número cero, realmente no puedes tener valor posicional, así que estás atascado con un sistema numérico como los números romanos.
¿Pero por qué funciona esta ecuación? No es una respuesta tan sencilla. Por supuesto, se podría utilizar la fórmula de Euler para las exponenciales:
Sin embargo, eso es como explicar la magia con más magia. Para mí, el problema es que nos gusta pensar en los números como cosas reales contables. Pero no puedes contar un número imaginario. Puedes decir que 32 es como 3 grupos de 3, pero ¿qué pasa con 31,32? ¿O qué pasa con 3-3,2i? Esos son bastante difíciles de imaginar. Si todavía quieres entender esta Identidad de Euler, mira este sitio.
152 decimales de Pi son probablemente suficientes
Imagina una esfera grande. Si conoces el diámetro de esta gran esfera, también puedes encontrar la circunferencia utilizando el valor de Pi. Ahora sustituye la esfera por el diámetro del universo observable a 93 mil millones de años luz (sí, sé que esto es mayor que 13 mil millones de años luz… es complicado). Si no conocemos el valor exacto de Pi, sino uno de 152 dígitos, entonces no conocemos la circunferencia exacta. Sin embargo, la incertidumbre en la circunferencia es menor que la longitud de Planck–la unidad más pequeña de medida de distancia que tiene algún significado. Se necesitan incluso menos dígitos de Pi para obtener una incertidumbre en la circunferencia menor que el tamaño de un átomo.
Entonces, ¿debemos dejar de buscar más y más dígitos de Pi? No, tenemos que continuar la búsqueda de una mejor appoximación de Pi. De todos modos, quién sabe lo que encontraremos en los dígitos de Pi. Ya existe el punto Feynman en el que hay una secuencia de seis 9’s seguidos. Y no te olvides de este clásico cómic de xkcd.
Tareas
¿Quieres deberes para el Día de Pi? Vale, aquí tienes unas cuantas preguntas.
- Busca una receta numérica mejor para calcular los dígitos de Pi y hazla (en Python o lo que sea). Ojo, quizás tengas que importar algo como el módulo decimal para poder mostrar muchos dígitos del número.
- Calcula (o estima) cuántos dígitos de Pi necesitas para calcular la circunferencia del universo con el tamaño de 1 átomo.
- Suponiendo que los dígitos de Pi son aleatorios, ¿cuál es la probabilidad de encontrar una serie de siete 9’s seguidos? ¿Cuántos dígitos necesitarías calcular para tener un 50 por ciento de probabilidades de ver estos siete 9 nueves?
- Vuelve al cálculo de números aleatorios para Pi. Cambia el programa para que trace puntos aleatorios en tres dimensiones en lugar de sólo dos.