Cómo diseñar una máquina de energía perpetua

La figura geométrica mostrada se construye como sigue. E1 y E2 son secciones de dos elipses concéntricas con focos situados en los puntos A y B. S1 y S2 son arcos de una circunferencia con centro B. Como son arcos de la misma circunferencia, toda línea recta que va de B a S1 o S2 es un radio y, por tanto, normal a la superficie interior. Toda esta figura es una sección transversal de un objeto hueco creado por el sólido de revolución de la figura plana. La superficie interior de este objeto es plateada y 100% reflectante (o lo más parecido posible). En A y B hay pequeños cuerpos negros esféricos hechos de materiales termoeléctricos. Cada uno de ellos tiene finos cables que conducen a los terminales de la batería en el exterior. Toda la estructura está completamente sellada.

Las siguientes son todas afirmaciones verdaderas sobre la física de estos cuerpos negros – examínalas cuidadosamente.

• Un cuerpo negro esférico uniforme irradia energía lumínica por igual en todas las direcciones dependiendo únicamente de su temperatura: Cuanto más caliente está, más energía irradia.
• Un cuerpo negro absorbe toda la luz que incide sobre él. Cuanta más energía absorbe, más aumenta su temperatura.
• Los rayos de luz viajan en líneas rectas perfectas a todos los efectos prácticos en los grandes objetos macroscópicos, porque sus longitudes de onda son extremadamente pequeñas en comparación. En este caso, todo el objeto puede hacerse tan grande como sea necesario para minimizar cualquier efecto cuántico que pudiera hacer que los rayos se desvíen de las líneas rectas, por lo que esta posibilidad puede ser efectivamente ignorada.
• Por óptica y geometría elementales, los rayos de luz que se originan en el centro de una esfera hueca reflectante son reflejados de vuelta al centro por su superficie interior.
• También, por óptica y geometría elemental, los rayos de luz que se originan en un foco de un elipsoide hueco reflectante se reflejan hacia el otro foco por su superficie interior.
• Si dos cuerpos a diferentes temperaturas están fabricados con los materiales termoeléctricos apropiados y están conectados entre sí en un circuito eléctrico, su diferencia de voltaje hará que fluya una corriente eléctrica en el circuito.

Ahora mira la geometría de la estructura. Todos los rayos que se originen en el punto A incidirán en E1 o E2 y se dirigirán al otro foco, B. La geometría es tal que ningún rayo procedente del cuerpo negro en A incidirá en los arcos S1 o S2. Por lo tanto, el 100% de la radiación procedente del cuerpo negro de A caerá sobre el cuerpo negro de B y será absorbida por él. Del mismo modo, los rayos procedentes del punto B que caigan sobre E1 y E2 se reflejarán en A. Sin embargo, una proporción significativa de los rayos que parten de B caerán sobre S1 o S2 y se reflejarán en B. Digamos que esta proporción es del 20%. Por tanto, si los cuerpos negros parten de la misma temperatura y cada uno emite 100 rayos de igual energía por unidad de tiempo, B recibirá y absorberá 120 rayos, mientras que A sólo recibirá y absorberá 80 rayos. Por lo tanto, el cuerpo negro B se calentará en relación con el cuerpo negro A. Si conectamos los terminales de la batería en el exterior, la corriente utilizable fluirá entre ellos hasta que los cuerpos negros igualen su temperatura. Si sus temperaturas no se igualan, la corriente fluirá siempre. Pero como hemos visto, la condición de igualdad de temperatura es inestable: Incluso si esta condición se alcanza alguna vez, el objeto B se calentará de nuevo con respecto a A debido a la geometría, y la corriente seguirá fluyendo. En efecto, ¡tendremos una fuente de energía inagotable!

¿Funcionará esta batería inagotable como se anuncia? ¿Por qué o por qué no?

Paradoja 2

Considere las siguientes estipulaciones:

1. La solución a esta columna de Insights se publicará definitivamente en Quanta en el mes de mayo.
2. Si, a efectos de este problema, definimos una semana como la que empieza un lunes y termina un domingo, entonces cada día de mayo caerá en una de las cinco semanas distintas (una semana parcial seguida de cuatro semanas completas). Declaro con certeza que no podrá predecir en cuál de estas cinco semanas separadas se publicará la columna de soluciones.

Ahora bien, como sabemos, los lectores de Quanta son un grupo brillante. Supongamos que un lector razona de la siguiente manera: «Si la columna no se publica al final de la cuarta semana, podré predecir con certeza que se publicará en la quinta semana. Por lo tanto, no puede publicarse en la quinta semana. Pero si no se puede publicar en la quinta semana, entonces, si sigue sin publicarse al final de la tercera semana, puedo estar seguro de que se publicará en la cuarta semana. Por lo tanto, no puede publicarse en la cuarta semana. Ahora puedo aplicar la misma lógica serial para demostrar que no puede publicarse en la tercera, segunda o primera semana. Por lo tanto, ¡la solución no puede publicarse en absoluto!»

¡OMG, esto me pone en un terrible aprieto! Sin duda, mi editor no estará contento. Es válido este razonamiento? Por qué sí o por qué no? ¿Qué pasa si hay una pequeña probabilidad (digamos 0,001) de que la columna no se publique en absoluto (todos tenemos COVID-19, o el sistema financiero se derrumba y no puede haber actividades comerciales)? Supongamos que «certeza» significa ahora «99% o más de probabilidad de tener razón». ¿Cambia eso la conclusión?

Es divertido reflexionar sobre las paradojas, porque a menudo ponen al descubierto hábitos de pensamiento defectuosos o expectativas erróneas. En consecuencia, pueden ser muy instructivas. ¿Cuál crees que es el error mental clave, si es que hay alguno, en estas dos paradojas? También me encantaría saber cuáles son tus paradojas favoritas.

¡Feliz desconcierto!

Nota del editor: El lector que envíe la solución más interesante, creativa o perspicaz (a juicio del columnista) en la sección de comentarios recibirá una camiseta de Quanta Magazine o uno de los dos libros de Quanta, Alice and Bob Meet the Wall of Fire o The Prime Number Conspiracy (a elección del ganador). Y si quieres sugerir un rompecabezas favorito para una futura columna de Insights, envíalo como un comentario más abajo, marcando claramente «NUEVA SUGERENCIA DE ROMPECABEZAS». (No aparecerá en línea, por lo que las soluciones al rompecabezas anterior deben enviarse por separado). Actualización: La solución se ha publicado aquí.