¿Cómo encontrar las asíntotas verticales de una función?

En este artículo, hablaremos de la temida palabra A, asíntota. En mi experiencia, los estudiantes a menudo se atascan con el término y pueden creer que este tipo de problemas son imposibles. Pero con una sólida comprensión de los conceptos, y unas cuantas técnicas algebraicas en su caja de herramientas, no es demasiado difícil localizar las asíntotas verticales de una función.

Los tipos de asíntotas

Hay tres tipos de asíntotas: horizontales, verticales y oblicuas. Este artículo se centra en las asíntotas verticales. Las asíntotas horizontales se discuten en otro lugar, y las asíntotas oblicuas son raras de ver en el examen AP. (Para más información sobre las asíntotas oblicuas, o inclinadas, vea este artículo y este útil vídeo).

Asíntotas verticales

Una asíntota vertical (o VA para abreviar) para una función es una línea vertical x = k que muestra dónde una función f(x) se vuelve ilimitada. Es decir, los valores de y de la función se hacen arbitrariamente grandes en sentido positivo (y→ ∞) o negativo (y→ -∞) a medida que x se acerca a k, ya sea por la izquierda o por la derecha.

Una asíntota vertical es como un «muro de ladrillos» que la función no puede atravesar. Imagínate que estás volando en un avión y delante de ti ves una enorme montaña. Si no puedes rodear la montaña por la izquierda o por la derecha, ¿qué harías? Probablemente volarías hacia arriba para evitar chocar con ella. Ahora imagina que esa montaña es vertical e infinitamente alta. Entonces podrías volar hacia arriba eternamente para evitar chocar con ella, ¡y aun así nunca superarías la montaña!

Una función puede tener cualquier número de asíntotas verticales, o ninguna. Algunas funciones incluso tienen infinitas VAs. La gráfica que se muestra a continuación tiene asíntotas verticales en x = -3 y x = 1.

Debido a que la definición involucra variables que se acercan a valores fijos, no debe sorprender que los límites deban estar involucrados de alguna manera. La definición precisa de asíntota vertical es la siguiente. Decimos que x = k es un VA para una función f(x) si el límite izquierdo o derecho a x = k es infinito:

Encontrar las asíntotas verticales

Hay dos formas principales de encontrar las asíntotas verticales para los problemas del examen AP de Cálculo AB, gráficamente (a partir de la propia gráfica) y analíticamente (a partir de la ecuación de una función). Hablaremos de ambas.

Determinar las asíntotas verticales a partir de la gráfica

Si se da una gráfica, entonces busca cualquier ruptura en la misma. Si parece que una rama de la función gira hacia la vertical, entonces es probable que estés ante una VA. Es útil trazar una línea vertical en el valor x donde crees que debería estar la asíntota (ver la gráfica mostrada arriba). Ten en cuenta que si parte de la gráfica toca tu línea vertical, entonces esa línea no es una asíntota después de todo.

Determinación de asíntotas verticales a partir de la ecuación

Si necesitas encontrar asíntotas verticales en el examen AP, lo más probable es que no te den la gráfica. Así que tendrás que saber qué buscar en la ecuación de la propia función. Pregúntate, ¿dónde tiene esta función un límite infinito? Vamos a ver cómo se aplica esto a dos tipos diferentes de funciones, las funciones racionales y las funciones trigonométricas.

Asíntotas verticales en funciones racionales

Si tu función es racional, es decir, si f(x) tiene la forma de una fracción, f(x) = p(x) / q(x), en la que tanto p(x) como q(x) son polinomios, entonces seguimos estos dos pasos:

1. Factorizar tanto el numerador (arriba) como el denominador (abajo). Esto es muy importante porque si algún factor acaba cancelándose, entonces no aportaría ninguna asíntota vertical.

2. Una vez que tu función racional esté completamente reducida, mira los factores del denominador. Si hay un factor que implica (x – a), entonces x = a es un VA. Si hay un factor que implica (x + a), entonces x = -a es un VA. Observa cómo el signo parece ser opuesto en ambas ocasiones (al igual que la resolución de un polinomio factorizado que se ha hecho igual a cero).

Práctica para encontrar asíntotas verticales

Veamos cómo funciona nuestro método. Encuentra la(s) asíntota(s) vertical(es) de cada función.

Soluciones:
(a) Primer factor y cancelación.

Como el factor x – 5 se cancela, no contribuye a la respuesta final. Sólo queda x + 5 en la parte inferior, lo que significa que hay un único VA en x = -5.

(b) Esta vez no hay cancelaciones tras la factorización.

Encontramos dos asíntotas verticales, x = 0 y x = -2.

Asíntotas verticales para funciones trigonométricas

El método de la factorización sólo se aplica a funciones racionales. Sin embargo, muchos otros tipos de funciones tienen asíntotas verticales. Quizá los ejemplos más importantes sean las funciones trigonométricas. De las seis funciones trigonométricas estándar, cuatro de ellas tienen asíntotas verticales: tan x, cot x, sec x y csc x. ¡De hecho, cada una de estas cuatro funciones tiene infinitas!

Por ejemplo, f(x) = cot x tiene una VA en cada múltiplo entero de π. En otras palabras, x = n π es una VA para cada n = 0, ±1, ±2, ±3, …

Usando tu calculadora gráfica

Las funciones más generales pueden ser más difíciles de resolver. Si estás trabajando en una sección del examen que permite el uso de una calculadora gráfica, entonces puedes simplemente graficar la función y tratar de detectar las interrupciones en el gráfico en las que los valores de y se vuelven ilimitados. Algunas calculadoras, como la TI-84, incluso tienen una opción llamada detectar asíntotas, que graficará automáticamente las VAs. Sin embargo, ten cuidado; si tu ventana de visualización es demasiado pequeña, puedes pasar por alto una VA.

Conclusión

Las asíntotas no son más que ciertas líneas que nos hablan del comportamiento de las funciones. Una asíntota vertical muestra dónde la función tiene un límite infinito (valores y no limitados). Es importante ser capaz de detectar las VAs en una gráfica dada, así como encontrarlas analíticamente a partir de la ecuación de la función. Tu calculadora gráfica también puede ayudarte. Con un poco de tiempo y práctica, estas técnicas pueden ser fácilmente dominadas, y así las asíntotas verticales no tienen que ser el «muro de ladrillos» que te impide llegar lejos en el examen de Cálculo AP!