Forma
En geometría, dos subconjuntos de un espacio euclidiano tienen la misma forma si uno puede transformarse en el otro mediante una combinación de traslaciones, rotaciones (llamadas también transformaciones rígidas) y escalas uniformes. En otras palabras, la forma de un conjunto de puntos es toda la información geométrica que es invariable a las traslaciones, rotaciones y cambios de tamaño. Tener la misma forma es una relación de equivalencia, y por lo tanto una definición matemática precisa de la noción de forma se puede dar como una clase de equivalencia de subconjuntos de un espacio euclidiano que tienen la misma forma.
El matemático y estadístico David George Kendall escribe:
En este documento ‘forma’ se utiliza en el sentido vulgar, y significa lo que uno normalmente esperaría que significara. Aquí definimos ‘forma’ de manera informal como ‘toda la información geométrica que queda cuando se filtran los efectos de ubicación, escala y rotación de un objeto’
Las formas de los objetos físicos son iguales si los subconjuntos del espacio que ocupan estos objetos satisfacen la definición anterior. En particular, la forma no depende del tamaño y la ubicación en el espacio del objeto. Por ejemplo, una «d» y una «p» tienen la misma forma, ya que pueden superponerse perfectamente si la «d» se traslada a la derecha una distancia determinada, se gira al revés y se amplía un factor determinado (véase la superposición de Procrustes para más detalles). Sin embargo, una imagen especular puede tener una forma diferente. Por ejemplo, una «b» y una «p» tienen una forma diferente, al menos cuando están limitadas a moverse dentro de un espacio bidimensional como la página en la que están escritas. Aunque tengan el mismo tamaño, no hay forma de superponerlas perfectamente trasladándolas y rotándolas a lo largo de la página. Del mismo modo, dentro de un espacio tridimensional, una mano derecha y una mano izquierda tienen una forma diferente, aunque sean imágenes especulares la una de la otra. Las formas pueden cambiar si el objeto se escala de forma no uniforme. Por ejemplo, una esfera se convierte en un elipsoide cuando se escala de forma diferente en las direcciones vertical y horizontal. En otras palabras, preservar los ejes de simetría (si existen) es importante para conservar las formas. Además, la forma está determinada sólo por el límite exterior de un objeto.
Congruencia y similitudEditar
Los objetos que pueden transformarse unos en otros mediante transformaciones rígidas y espejos (pero no a escala) son congruentes. Por tanto, un objeto es congruente con su imagen especular (aunque no sea simétrica), pero no con una versión a escala. Dos objetos congruentes siempre tienen la misma forma o formas de imagen en el espejo, y tienen el mismo tamaño.
Los objetos que tienen la misma forma o formas de imagen en el espejo se denominan geométricamente similares, tengan o no el mismo tamaño. Por lo tanto, los objetos que pueden transformarse entre sí mediante transformaciones rígidas, espejos y escalas uniformes son similares. La similitud se mantiene cuando uno de los objetos se escala uniformemente, mientras que la congruencia no. Así, los objetos congruentes son siempre geométricamente similares, pero los objetos similares pueden no ser congruentes, ya que pueden tener diferente tamaño.
HomeomorfismoEditar
Una definición más flexible de forma tiene en cuenta el hecho de que las formas realistas son a menudo deformables, por ejemplo, una persona en diferentes posturas, un árbol que se dobla con el viento o una mano con diferentes posiciones de los dedos.
Una forma de modelar los movimientos no rígidos es mediante homeomorfismos. A grandes rasgos, un homeomorfismo es un estiramiento y flexión continuos de un objeto en una nueva forma. Así, un cuadrado y un círculo son homeomorfos entre sí, pero una esfera y un donut no lo son. Un chiste matemático que se repite a menudo es que los topólogos no pueden distinguir su taza de café de su donut, ya que un donut lo suficientemente flexible podría remodelarse hasta adquirir la forma de una taza de café creando un hoyuelo y agrandándolo progresivamente, al tiempo que se conserva el agujero del donut en el asa de la taza.
Una forma descrita tiene líneas externas que se pueden ver y que conforman la forma. Si estuvieras poniendo tus coordenadas en un gráfico de coordenadas podrías dibujar líneas para mostrar dónde puedes ver una forma, sin embargo no siempre que pones coordenadas en un gráfico como tal puedes hacer una forma. Esta forma tiene un contorno y un límite para que se pueda ver y no es sólo puntos regulares en un papel normal.
Análisis de formaEditar
Las definiciones matemáticas de forma rígida y no rígida mencionadas anteriormente han surgido en el campo del análisis estadístico de la forma. En particular, el análisis de Procrustes es una técnica que se utiliza para comparar formas de objetos similares (por ejemplo, huesos de diferentes animales), o para medir la deformación de un objeto deformable. Otros métodos están diseñados para trabajar con objetos no rígidos (deformables), por ejemplo, para la recuperación de la forma independiente de la postura (véase, por ejemplo, el análisis de forma espectral).
Clases de similitudEditar
Todos los triángulos similares tienen la misma forma. Estas formas pueden clasificarse utilizando números complejos u, v, w para los vértices, en un método avanzado por J.A. Lester y Rafael Artzy. Por ejemplo, un triángulo equilátero puede expresarse mediante los números complejos 0, 1, (1 + i √3)/2 que representan sus vértices. Lester y Artzy llaman a la relación
S ( u , v , w ) = u – w u – v {\displaystyle S(u,v,w)={frac {u-w}{u-v}}
la forma del triángulo (u, v, w). Entonces la forma del triángulo equilátero es
(0-(1+ √3)/2)/(0-1) = ( 1 + i √3)/2 = cos(60°) + i sin(60°) = exp( i π/3).
Para cualquier transformación afín del plano complejo, z ↦ a z + b , a ≠ 0 , {\displaystyle z\mapsto az+b,\quad a\neq 0,}
un triángulo se transforma pero no cambia su forma. La forma p = S(u,v,w) depende del orden de los argumentos de la función S, pero las permutaciones conducen a valores afines. Por ejemplo, 1 – p = 1 – ( u – w ) / ( u – v ) = ( w – v ) / ( u – v ) = ( v – w ) / ( v – u ) = S ( v , u , w ) . {\displaystyle 1-p=1-(u-w)/(u-v)=(w-v)/(u-v)=(v-w)/(v-u)=S(v,u,w).}
También p – 1 = S ( u , w , v ) . {\displaystyle p^{-1}=S(u,w,v).}
Combinando estas permutaciones se obtiene S ( v , w , u ) = ( 1 – p ) – 1 . {\displaystyle S(v,w,u)=(1-p)^{-1}.}
Además, p ( 1 – p ) – 1 = S ( u , v , w ) S ( v , w , u ) = ( u – w ) / ( v – w ) = S ( w , v , u ) . {\displaystyle p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)=(u-w)/(v-w)=S(w,v,u).}
Estas relaciones son «reglas de conversión» de la forma de un triángulo.
La forma de un cuadrilátero está asociada a dos números complejos p,q. Si el cuadrilátero tiene vértices u,v,w,x, entonces p = S(u,v,w) y q = S(v,w,x). Artzy demuestra estas proposiciones sobre las formas de los cuadriláteros:
entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
y sgn r = sgn(Im p), entonces el cuadrilátero es un trapecio.
Un polígono ( z 1 , z 2 , . . . z n ) {\displaystyle (z_{1},z_{2},…z_{n})}
tiene una forma definida por n – 2 números complejos S ( z j , z j + 1 , z j + 2 ) , j = 1 , . , n – 2. {\displaystyle S(z_{j},z_{j+1},z_{j+2}),\a j=1,…,n-2.}
El polígono limita un conjunto convexo cuando todas estas componentes de la forma tienen componentes imaginarias del mismo signo.