Geometría euclidiana

Fundamentos

Euclides se dio cuenta de que un desarrollo riguroso de la geometría debía comenzar por los fundamentos. De ahí que comenzara los Elementos con algunos términos indefinidos, como «un punto es lo que no tiene parte» y «una línea es una longitud sin anchura». A partir de estos términos, definió otras ideas como ángulos, círculos, triángulos y otros polígonos y figuras. Por ejemplo, un ángulo se definió como la inclinación de dos líneas rectas, y un círculo era una figura plana formada por todos los puntos que tienen una distancia fija (radio) desde un centro determinado.

Como base para otras deducciones lógicas, Euclides propuso cinco nociones comunes, como «las cosas iguales a la misma cosa son iguales», y cinco principios indemostrables pero intuitivos conocidos diversamente como postulados o axiomas. Enunciados en términos modernos, los axiomas son los siguientes:

• 1. Dados dos puntos, existe una recta que los une.
• 2. Un segmento de recta puede prolongarse indefinidamente.
• 3. Se puede construir una circunferencia cuando se da un punto para su centro y una distancia para su radio.
• 4. Todos los ángulos rectos son iguales.
• 5. Si una recta que cae sobre dos rectas hace que los ángulos interiores de un mismo lado sean menores que dos ángulos rectos, las dos rectas, si se producen indefinidamente, se encontrarán en aquel lado en el que los ángulos sean menores que los dos ángulos rectos.

Hilbert refinó los axiomas (1) y (5) de la siguiente manera:

• 1. Para cualesquiera dos puntos diferentes, (a) existe una recta que contiene a estos dos puntos, y (b) esta recta es única.
• 5. Para cualquier línea L y un punto p que no esté en L, (a) existe una línea que pasa por p y no se encuentra con L, y (b) esta línea es única.

El quinto axioma se conoció como el «postulado de las paralelas», ya que proporcionó una base para la unicidad de las líneas paralelas. (También despertó un gran interés porque parecía menos intuitivo o evidente que los demás. En el siglo XIX, Carl Friedrich Gauss, János Bolyai y Nikolay Lobachevsky comenzaron a experimentar con este postulado, llegando finalmente a nuevas geometrías no euclidianas). Los cinco axiomas proporcionaron la base de numerosas afirmaciones demostrables, o teoremas, sobre los que Euclides construyó su geometría. En el resto de este artículo se explican brevemente los teoremas más importantes de la geometría plana y sólida de Euclides.