Postulados de congruencia de triángulos

Los triángulos congruentes son triángulos con lados y ángulos idénticos. Los tres lados de uno son exactamente iguales en medida a los tres lados de otro. Los tres ángulos de uno son cada uno el mismo ángulo del otro.

Existen cinco formas de encontrar dos triángulos congruentes:

SSS, o Lado Lado
SAS, o Lado Ángulo Lado
ASA, o Lado Ángulo Lado
AAS, o Lado Ángulo
HL, o Pierna Hipotenusa, sólo para triángulos rectos

Partes Incluidas

Un ángulo incluido se encuentra entre dos lados nombrados. En el △CAT de abajo, el lado incluido ∠A está entre los lados t y c:

Un lado incluido está entre dos ángulos nombrados del triángulo.

Postulado del lado del lado

Un postulado es una afirmación que se toma como verdadera sin necesidad de prueba. El postulado SSS nos dice,

Si tres lados de un triángulo son congruentes con tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

La congruencia de lados se muestra con pequeñas marcas de sombreado, así: ∥. En el caso de dos triángulos, los lados pueden marcarse con una, dos y tres marcas de sombreado.

Si △ACE tiene lados idénticos en medida a los tres lados de △HUM, entonces los dos triángulos son congruentes por SSS:

Postulado del ángulo lateral

El postulado SAS nos dice,

Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son congruentes con dos lados y el ángulo incluido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

△HUG y △LAB tienen cada uno un ángulo que mide exactamente 63°. Los lados correspondientes g y b son congruentes. Los lados h y l son congruentes.

Un lado, un ángulo incluido y un lado en △HUG y en △LAB son congruentes. Por tanto, por SAS, los dos triángulos son congruentes.

Postulado del Ángulo Lateral

Este postulado dice,

Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado incluido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Tenemos △MAC y △CHZ, con el lado m congruente con el lado c. ∠A es congruente con ∠H, mientras que ∠C es congruente con ∠Z. Por el postulado ASA estos dos triángulos son congruentes.

Teorema del ángulo lado

Se nos dan dos ángulos y el lado no incluido, el lado opuesto a uno de los ángulos. El teorema del ángulo lado dice,

Si dos ángulos y el lado no incluido de un triángulo son congruentes con las partes correspondientes de otro triángulo, los triángulos son congruentes.

Aquí están congruentes △POT y △LID, con dos ángulos medidos de 56° y 52°, y un lado no incluido de 13 centímetros:

Por el Teorema del AAS, estos dos triángulos son congruentes.

Postulado HL

Exclusivamente para los triángulos rectángulos, el Postulado HL nos dice,

Dos triángulos rectángulos que tienen una hipotenusa congruente y un cateto correspondiente congruente son congruentes.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo es el lado más largo. Los otros dos lados son los catetos. Cualquiera de los catetos puede ser congruente entre los dos triángulos.

Aquí tenemos los triángulos rectángulos △COW y △PIG, con las hipotenusas de los lados w e i congruentes. Los catetos o y g también son congruentes:

Así que, por el Postulado HL, estos dos triángulos son congruentes, aunque estén orientados en distintas direcciones.

Demostración mediante congruencia

Dado: △MAG y △ICG

MC ≅ AI

AG ≅ GI

Demostración: △MAG ≅ △ICG

Razón del enunciado

MC ≅ AI Dado

AG ≅ GI

∠MGA ≅ ∠ IGC Los ángulos verticales son congruentes

△MAG ≅ △ICG Lado Ángulo Lateral

Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son congruentes con dos lados y el ángulo incluido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Siguiente lección:

Teoremas de congruencia de triángulos

Postulados de congruencia de triángulos: SAS, ASA, SSS, AAS, HL