Prima de Mersenne

Un primo de Mersenne es un número primo que puede escribirse de la forma 2n-12^{n}-12n-1. Por ejemplo, 313131 es un primo de Mersenne que puede escribirse como 25-12^{5}-125-1. Los primeros primos de Mersenne son 3,7,31,127,81913, 7, 31, 127, 81913,7,31,127,8191. Hay 50 primos de Mersenne conocidos a fecha de junio de 2018, aunque esperamos que cambie en el futuro. Algo interesante de los primos de Mersenne es que son los números naturales más fáciles de demostrar que son primos, por lo que conforman la categoría más grande de la lista de números primos conocidos.

La búsqueda y la curiosidad por los primos de Mersenne surgió del estudio de los números perfectos. Un número perfecto es un número que se puede escribir como la suma de sus divisores propios positivos. Por ejemplo, el 666 es un número perfecto ya que se puede escribir como 6=1+2+36=1+2+36=1+2+3, y de hecho es el número perfecto más pequeño. El siguiente número perfecto es 28=1+2+4+7+1428=1+2+4+7+1428=1+2+4+7+14.

Se puede demostrar que si un número entero positivo aaa se puede escribir de la forma 2n-1(2n-1)2^{n-1}(2^{n}-1)2n-1(2n-1), tal que 2n-12^{n}-12n-1 es un número primo, entonces aaa debe ser un número perfecto par. Hemos visto que si 2n-12^{n}-12n-1 es un número primo, entonces es un primo de Mersenne, lo que crea una correspondencia uno a uno entre los primos de Mersenne y los números perfectos pares. Es decir, ¡cada primo de Mersenne corresponde exactamente a un número perfecto par! (Hasta ahora no se ha encontrado ningún número perfecto impar.)

Demuestre que si 2n-12^{n}-12n-1 es primo, entonces nnn también debe ser primo.

Sea ppp y qqq enteros positivos mayores que uno tales que n=p⋅qn=p\cdot qn=p⋅q. Entonces usando la identidad de factorización,

2pq-1=(2p-1)⋅(1+2p+22p+23p+⋯+2p(q-1)).{ 2 }^{ pq }-1=\a izquierda( { 2 }^{ p }-1 \a derecha) \a izquierda( 1+{ 2 }^{ p }+{ 2 }^{ 2p }+{ 2 }^{ 3p }+\a puntos+{ 2 }^{ p(q-1) } \right). 2pq−1=(2p−1)⋅(1+2p+22p+23p+⋯+2p(q−1)).

Entonces si nnn es compuesto y WLOG 1<p<q1<p<q1<p<q, entonces tenemos que el término 2n-12^{n}-12n-1 es compuesto porque es divisible por el término 2p-12^{p}-12p-1. □_\\Ncuadrado□

La prueba nos dice que si 2n-12^{n}-12n-1 es primo, entonces nnn también lo es. Pero no garantiza que si nnn es primo, entonces 2n-12^{n}-12n-1 es primo, ya que no hemos considerado el segundo término de la ecuación anterior. Un ejemplo típico de esto es 11:11:11: aunque es un número primo, 211-1=20472^{11}-1=2047211-1=2047 no es un número primo.