Resolución de ecuaciones exponenciales con logaritmos

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• Resolver 2x = 30
Si esta ecuación me hubiera pedido «Resolver 2x = 32», entonces encontrar la solución habría sido fácil, porque podría haber convertido el 32 en 25, poner los exponentes iguales y resolver «x = 5». Pero, a diferencia de 32, 30 no es una potencia de 2, así que no puedo establecer potencias iguales entre sí. Necesito algún otro método para llegar a la x, porque no puedo resolver la ecuación con la variable flotando por encima del 2; la necesito de vuelta en el suelo, donde debe estar, donde puedo llegar a ella. Y tendré que usar logaritmos para bajar esa variable.

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Cuando se trata de ecuaciones, puedo hacer lo que quiera con la ecuación, siempre que haga lo mismo con ambos lados. Y, para resolver una ecuación, tengo que poner la variable por sí misma a un lado del signo «igual»; para aislar la variable, tengo que «deshacer» lo que se haya hecho a la variable.

En este caso, la variable x se ha puesto en el exponente. El reverso (técnicamente, la «inversa») de los exponenciales son los logaritmos, así que tendré que deshacer el exponente tomando el logaritmo de ambos lados de la ecuación. Esto me resulta útil por la regla del logaritmo que dice que los exponentes dentro de un logaritmo se pueden convertir en multiplicadores delante del logaritmo:

logb(mn) = n – logb(m)

Cuando tomo el logaritmo de ambos lados de una ecuación, puedo usar cualquier logaritmo que me guste (logaritmo de base-10, logaritmo de base-2, logaritmo natural, etc), pero algunos son a veces más útiles que otros. Como la base de la ecuación «2x = 30» es «2», podría intentar usar un logaritmo de base-2:

log2(2x) = log2(30)

Cualquier logaritmo de la base del logaritmo devuelve un valor de 1, por lo que log2(2) = 1. Entonces:

x – log2(2) = log2(30)

x(1) = log2(30)

x = log2(30)

Si te piden «encontrar la solución», entonces lo anterior debería ser una respuesta aceptable. Sin embargo, este valor, aunque «exacto», no será muy útil para los problemas de palabras (o en la «vida real») si necesitas una aproximación numérica.

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Pero no podemos evaluar esta expresión en nuestras calculadoras tal cual. En primer lugar, tendríamos que aplicar la fórmula de cambio de base para convertir la expresión en algo en una base que nuestras calculadoras puedan entender; es decir, el logaritmo natural o el logaritmo común. Esa conversión es así:

x = log2(30)

= ln(30)/ln(2)

Recordatorio: La «ln» es la abreviatura de «logarithmus naturalis», la versión latina de lo que se convirtió en «natural log» en inglés. La abreviatura se pronuncia «ell-enn» y se escribe con una «L» minúscula seguida de una «N» minúscula. No hay «I» («ojo») en el nombre de la función!

¿Qué pasaría si simplemente utilizara el logaritmo natural, en lugar de un logaritmo de base dos, en primer lugar? El proceso habría sido exactamente el mismo, y la respuesta final habría sido equivalente.

2x = 30

ln(2x) = ln(30)

x – ln(2) = ln(30)

De cualquier manera, obtengo la misma respuesta, pero tomar el logaritmo natural en primer lugar era más sencillo y corto.

Nota: podría haber usado el logaritmo común (base-10) en lugar del logaritmo natural (es decir, la base-e), y seguiría obteniendo el mismo valor (cuando se evalúa en la calculadora).

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Ya que la ciencia utiliza tanto el logaritmo natural, y puesto que es uno de los dos logaritmos que las calculadoras pueden evaluar, tiendo a tomar el logaritmo natural de ambos lados cuando resuelvo ecuaciones exponenciales. Esto no es (generalmente) necesario, pero a menudo es más útil que otras opciones.

• Resuelve 5x = 212. Da tu respuesta en forma exacta y como una aproximación decimal a tres lugares.

Como 212 no es una potencia de 5, entonces tendré que usar logaritmos para resolver esta ecuación. Podría tomar el logaritmo de base 5 de cada lado, resolver y luego aplicar la fórmula de cambio de base, pero creo que prefiero usar el logaritmo natural en primer lugar:

5x = 212

ln(5x) = ln(212)

x – ln(5) = ln(212)

….o aproximadamente 3,328, redondeado a tres decimales.

• Resolver 102x = 52

Dado que 52 no es una potencia de 10, tendré que utilizar los logaritmos para resolverlo. En este caso concreto, como la base es 10 y como los logaritmos de base 10 se pueden hacer en la calculadora, utilizaré el logaritmo común en lugar del logaritmo natural para resolver esta ecuación concreta:

102x = 52

log(102x) = log(52)

2x – log(10) = log(52)

2x(1) = log(52)

2x = log(52)

….o aproximadamente 0,858, redondeado a tres decimales.

• 3(2x+4) = 350

Antes de empezar a ver la exponencial, primero tengo que deshacerme del 3, así que lo dividiré para obtener:

Como

no es una potencia de 2, tendré que usar logaritmos. En este caso utilizaré el logaritmo natural:

….o aproximadamente 2,866, redondeado a tres decimales.

Nota: También podrías resolver lo anterior utilizando las reglas de los exponentes para descomponer la potencia en el 2: