Euklidische Geometrie

Grundlagen

Euklid erkannte, dass eine strenge Entwicklung der Geometrie mit den Grundlagen beginnen muss. Daher begann er die Elemente mit einigen undefinierten Begriffen, wie „ein Punkt ist das, was keinen Teil hat“ und „eine Linie ist eine Länge ohne Breite.“ Von diesen Begriffen ausgehend, definierte er weitere Begriffe wie Winkel, Kreise, Dreiecke und verschiedene andere Polygone und Figuren. Zum Beispiel wurde ein Winkel als die Neigung zweier gerader Linien definiert, und ein Kreis war eine ebene Figur, die aus allen Punkten bestand, die einen festen Abstand (Radius) von einem gegebenen Mittelpunkt haben.

Als Grundlage für weitere logische Ableitungen schlug Euklid fünf allgemeine Begriffe vor, wie z. B. „Dinge, die gleich sind, sind gleich“, und fünf unbeweisbare, aber intuitive Prinzipien, die auch als Postulate oder Axiome bekannt sind. In modernen Begriffen ausgedrückt, lauten die Axiome wie folgt:

• 1. Sind zwei Punkte gegeben, so gibt es eine Gerade, die sie verbindet.
• 2. Ein Geradensegment kann unendlich verlängert werden.
• 3. Ein Kreis kann konstruiert werden, wenn ein Punkt für seinen Mittelpunkt und ein Abstand für seinen Radius gegeben sind.
• 4. Alle rechten Winkel sind gleich.
• 5. Wenn eine Gerade, die auf zwei Geraden fällt, die Innenwinkel auf derselben Seite kleiner als zwei rechte Winkel macht, werden sich die beiden Geraden, wenn sie unendlich erzeugt werden, auf der Seite treffen, auf der die Winkel kleiner als die beiden rechten Winkel sind.

Hilbert verfeinerte die Axiome (1) und (5) wie folgt:

• 1. Für beliebige zwei verschiedene Punkte gibt es (a) eine Linie, die diese beiden Punkte enthält, und (b) diese Linie ist eindeutig.
• 5. Für jede Linie L und einen Punkt p, der nicht auf L liegt, (a) existiert eine Linie durch p, die L nicht trifft, und (b) diese Linie ist eindeutig.

Das fünfte Axiom wurde als „Parallelitätspostulat“ bekannt, da es eine Grundlage für die Einzigartigkeit paralleler Linien lieferte. (Es zog auch deshalb großes Interesse auf sich, weil es weniger intuitiv oder selbstverständlich erschien als die anderen. Im 19. Jahrhundert begannen Carl Friedrich Gauß, János Bolyai und Nikolay Lobachevsky mit diesem Postulat zu experimentieren und gelangten schließlich zu neuen, nicht-euklidischen Geometrien.) Alle fünf Axiome bildeten die Grundlage für zahlreiche beweisbare Aussagen, oder Theoreme, auf denen Euklid seine Geometrie aufbaute. Der Rest dieses Artikels erläutert kurz die wichtigsten Sätze der euklidischen ebenen und festen Geometrie.