Faktoriell

Was ist faktoriell?

Die Fakultät (bezeichnet oder dargestellt als n!) für eine positive Zahl oder ganze Zahl (die mit n bezeichnet wird) ist das Produkt aller positiven Zahlen, die n (der positiven ganzen Zahl) vorausgehen oder entsprechen. Die Fakultät kommt in verschiedenen Bereichen der Mathematik vor, darunter Algebra, mathematische Analyse und Kombinatorik.

Bereits um 1200 wurden Fakultäten verwendet, um Permutationen zu zählen. Die Notation für eine Fakultät (n!) wurde in den frühen 1800er Jahren von Christian Kramp, einem französischen Mathematiker, eingeführt.

Die faktorielle Formel ist unten zu sehen:

Definition der Fakultät

Die Funktion einer Fakultät ist definiert durch das Produkt aller positiven ganzen Zahlen vor und/oder gleich n, also:

n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙∙∙ (n-2) ∙ (n -1) ∙ n,

wenn man Werte oder ganze Zahlen größer oder gleich 1 betrachtet. Sie kann dann geschrieben werden als:

Die obige Gleichung wird nach der Pi-Produkt-Notation geschrieben und ergibt die unten zu sehende wiederkehrende Beziehung:

n! = n ∙ (n – 1) !.

Ein paar Beispiele für die Notation sind unten zu sehen:

• 4! = 4 ∙ 3!
• 7! = 7 ∙ 6!
• 80! = 80 ∙ 79!, usw.

Faktorielle Tabelle

Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die Fakultäten für ganze Zahlen zwischen 0 und 10:

Faktorielle von 0 (Null)

Es ist allgemein bekannt, dass die Fakultät von 0 gleich 1 (Eins) ist. Sie kann wie folgt angegeben werden:

0! = 1

Es gibt mehrere Gründe, die die oben angegebene Notation und Definition rechtfertigen. Erstens erlaubt die Definition einen kompakten Ausdruck einer beträchtlichen Anzahl von Formeln, einschließlich der Exponentialfunktion, und die Definition schafft eine Erweiterung der Rekursionsrelation auf 0.

Darüber hinaus umfasst die Definition der Fakultät (n!) für n = 0 das Produkt von Nullen, was bedeutet, dass sie im weiteren Sinne äquivalent zur multiplikativen Identität ist.

Darüber hinaus umfasst die Definition der Fakultät von Null nur eine Permutation von Nullen oder Nullen. Schließlich bestätigt die Definition auch eine Reihe von Identitäten in der Kombinatorik.

Zu beachtende Definitionen in Bezug auf die Nullfaktorialität

• Kombinatorik: Ein Bereich der Mathematik, der sich mit dem Zählen beschäftigt.
• Permutation: In der Mathematik bezieht sich Permutation auf die Anordnung der Mitglieder einer Menge in einer linearen Reihenfolge oder Sequenz.
• Rekursionsrelation: Die Rekursionsrelation bezieht sich in der Mathematik auf eine Gleichung, die eine Folge oder eine große Menge von Werten rekursiv definiert. Rekursion bedeutet, etwas in Bezug auf sich selbst zu definieren.

Vielfältige Anwendungen für die Faktorielle Funktion

Die Faktorielle Funktion ist in verschiedenen Bereichen der Mathematik zu finden. Zum einen gibt es n! verschiedene Möglichkeiten, n bestimmte Objekte in einer Folge anzuordnen. Zum anderen können Faktoren verwendet werden, um die Unkenntnis oder Nichtbeachtung der Ordnung in einer Formel zu berücksichtigen, indem sie als Nenner dienen.

Faktoren kommen auch in der Algebra über den Binomischen Satz und in der Infinitesimalrechnung vor, wo sie in den Nennern der Taylorschen Formel vorkommen. Außerdem findet man die Fakultät in der Wahrscheinlichkeits- und Zahlentheorie und kann sie zur Manipulation von Ausdrücken verwenden.

Weitere dem Faktoriellen ähnliche Folgen

In der Mathematik gibt es eine Reihe von Folgen, die mit dem Faktoriellen vergleichbar sind. Dazu gehören:

• Doppelfaktorielle, die zur Vereinfachung trigonometrischer Integrale verwendet werden.
• Multifaktorielle, die mit mehreren Ausrufezeichen bezeichnet werden können.
• Primfaktorielle, die das Produkt der Primzahlen, die kleiner oder gleich n sind, ergeben.
• Superfaktorielle, die als Produkt der ersten n Faktoriellen definiert sind.
• Hyperfaktorielle, die sich aus der Multiplikation einer Anzahl von aufeinanderfolgenden Werten von 1 bis n ergeben.

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