Écart-type

Voici un exemple réel un peu plus difficile : La taille moyenne des hommes adultes aux États-Unis est de 70″, avec un écart-type de 3″. Un écart type de 3″ signifie que la plupart des hommes (environ 68 %, en supposant une distribution normale) ont une taille de 3″ plus grande à 3″ plus petite que la moyenne (67″-73″) – un écart type. Presque tous les hommes (environ 95 %) ont une taille de 6″ plus grande à 6″ plus petite que la moyenne (64″-76″) – deux écarts types. Trois écarts types comprennent tous les chiffres pour 99,7 % de l’échantillon de population étudié. Cela est vrai si la distribution est normale (en forme de cloche).

Si l’écart-type était nul, alors tous les hommes mesureraient exactement 70″. Si l’écart-type était de 20″, alors certains hommes seraient beaucoup plus grands ou beaucoup plus petits que la moyenne, avec une fourchette typique d’environ 50″-90″.

Pour un autre exemple, chacun des trois groupes {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} et {6, 6, 8, 8} a une moyenne (moyenne) de 7. Mais leurs écarts types sont de 7, 5 et 1. Le troisième groupe a un écart type beaucoup plus petit que les deux autres parce que ses nombres sont tous proches de 7. En général, l’écart type nous indique à quelle distance de la moyenne le reste des nombres a tendance à se trouver, et il aura les mêmes unités que les nombres eux-mêmes. Si, par exemple, le groupe {0, 6, 8, 14} représente les âges d’un groupe de quatre frères en années, la moyenne est de 7 ans et l’écart-type de 5 ans.

L’écart-type peut servir de mesure de l’incertitude. En science, par exemple, l’écart-type d’un groupe de mesures répétées aide les scientifiques à savoir à quel point ils sont sûrs du nombre moyen. Lorsqu’il s’agit de décider si les mesures d’une expérience correspondent à une prédiction, l’écart-type de ces mesures est très important. Si le nombre moyen issu des expériences est trop éloigné du nombre prédit (la distance étant mesurée en écarts types), la théorie testée n’est peut-être pas la bonne. Pour plus d’informations, voir l’intervalle de prédiction.

Exemples d’applicationEdit

Comprendre l’écart-type d’un ensemble de valeurs nous permet de savoir quelle est l’ampleur de la différence par rapport à la  » moyenne  » (mean).

MétéoEdit

Comme exemple simple, considérons les températures moyennes quotidiennes élevées de deux villes, l’une à l’intérieur des terres et l’autre près de l’océan. Il est utile de comprendre que la plage des températures élevées quotidiennes pour les villes près de l’océan est plus petite que pour les villes à l’intérieur des terres. Ces deux villes peuvent avoir la même température maximale quotidienne moyenne. Cependant, l’écart type de la température élevée quotidienne de la ville côtière sera inférieur à celui de la ville intérieure .

SportsEdit

Une autre façon de voir les choses est de considérer les équipes sportives. Dans n’importe quel sport, il y aura des équipes qui sont bonnes dans certains domaines et pas dans d’autres. Les équipes qui sont les mieux classées ne montreront pas beaucoup de différences dans les capacités. Elles obtiennent de bons résultats dans la plupart des catégories. Plus l’écart-type de leurs capacités dans chaque catégorie est faible, plus elles sont équilibrées et cohérentes. En revanche, les équipes dont l’écart-type est plus élevé sont moins prévisibles. Une équipe qui est généralement mauvaise dans la plupart des catégories aura un écart-type faible. Une équipe qui est habituellement bonne dans la plupart des catégories aura également un faible écart-type. Cependant, une équipe avec un écart-type élevé pourrait être le type d’équipe qui marque beaucoup de points (forte attaque) mais qui laisse aussi l’autre équipe marquer beaucoup de points (faible défense).

Essayer de savoir à l’avance quelles équipes vont gagner peut inclure l’examen des écarts types des diverses « statistiques » de l’équipe. Les chiffres qui sont différents de ceux attendus peuvent faire correspondre les forces aux faiblesses pour montrer les raisons qui peuvent être les plus importantes pour savoir quelle équipe va gagner.

Dans les courses automobiles, on mesure le temps que met un pilote pour terminer chaque tour de piste. Un pilote dont l’écart-type des temps au tour est faible est plus régulier qu’un pilote dont l’écart-type est plus élevé. Cette information peut être utilisée pour aider à comprendre comment un pilote peut réduire le temps nécessaire pour terminer un tour.

MoneyEdit

En matière d’argent, l’écart-type peut signifier le risque qu’un prix augmente ou diminue (actions, obligations, biens immobiliers, etc.). Il peut également signifier le risque qu’un groupe de prix monte ou descende (fonds communs de placement gérés activement, fonds communs de placement indiciels ou ETF). Le risque est une raison de prendre des décisions sur ce qu’il faut acheter. Le risque est un chiffre que les gens peuvent utiliser pour savoir combien d’argent ils peuvent gagner ou perdre. Plus le risque est élevé, plus le rendement d’un investissement peut être supérieur aux prévisions (l’écart-type « plus »). Cependant, un investissement peut également perdre plus d’argent que prévu (l’écart-type « moins »).

Par exemple, une personne devait choisir entre deux actions. L’action A au cours des 20 dernières années a eu un rendement moyen de 10 %, avec un écart-type de 20 points de pourcentage (pp). L’action B, au cours des 20 dernières années, a eu un rendement moyen de 12 %, mais un écart type plus élevé de 30 points de pourcentage. En pensant au risque, la personne peut décider que l’action A est le choix le plus sûr. Même si elle ne gagne pas autant d’argent, elle n’en perdra probablement pas beaucoup non plus. La personne peut penser que la moyenne supérieure de 2 points de l’action B ne vaut pas l’écart type supplémentaire de 10 pp (risque plus important ou incertitude du rendement attendu).

Règles pour les nombres normalement distribuésEdit

Le bleu foncé est inférieur à un écart type de la moyenne. Pour la distribution normale, cela inclut 68,27 % des nombres ; tandis que deux écarts types de la moyenne (bleu moyen et foncé) incluent 95,45 % ; trois écarts types (bleu clair, moyen et foncé) incluent 99,73 % ; et quatre écarts types représentent 99,994 %.

La plupart des équations mathématiques pour l’écart type supposent que les nombres sont normalement distribués. Cela signifie que les nombres sont répartis d’une certaine manière de part et d’autre de la valeur moyenne. La distribution normale est également appelée distribution gaussienne car elle a été découverte par Carl Friedrich Gauss. On l’appelle souvent la courbe en cloche parce que les nombres s’étalent pour donner la forme d’une cloche sur un graphique.

Les nombres ne sont pas normalement distribués s’ils sont regroupés d’un côté ou de l’autre de la valeur moyenne. Les nombres peuvent être étalés et être quand même normalement distribués. L’écart-type indique dans quelle mesure les nombres sont étalés.

L’écart-type indique dans quelle mesure les nombres sont étalés.