Comment trouver les asymptotes verticales d’une fonction?
Dans cet article, nous allons parler de ce redoutable mot en A, asymptote. D’après mon expérience, les étudiants sont souvent accrochés à ce terme et peuvent croire que ce genre de problèmes est impossible. Mais avec une solide compréhension des concepts, et quelques techniques algébriques dans votre boîte à outils, il n’est pas trop difficile de localiser les asymptotes verticales d’une fonction.
Les types d’asymptotes
Il existe trois types d’asymptotes : horiztonale, verticale et oblique. Cet article se concentre sur les asymptotes verticales. Les asymptotes horizontales sont abordées ailleurs, et les asymptotes obliques sont rares à voir à l’examen AP (Pour plus d’informations sur les asymptotes obliques, ou obliques, voir cet article et cette vidéo utile).
Asymptotes verticales
Une asymptote verticale (ou VA pour faire court) pour une fonction est une ligne verticale x = k montrant où une fonction f(x) devient non bornée. En d’autres termes, les valeurs y de la fonction deviennent arbitrairement grandes au sens positif (y→ ∞) ou au sens négatif (y→ -∞) lorsque x s’approche de k, soit de la gauche, soit de la droite.
Une asymptote verticale est comme un « mur de briques » que la fonction ne peut pas franchir. Imaginez que vous volez dans un avion et que, devant vous, vous voyez une énorme montagne. Si vous ne pouvez pas contourner la montagne à gauche ou à droite, que feriez-vous ? Vous voleriez probablement vers le haut pour éviter de la heurter. Imaginez maintenant que cette montagne soit verticale et infiniment haute. Vous pourriez alors voler vers le haut à l’infini pour éviter de la heurter, et ne jamais dépasser la montagne !
Une fonction peut avoir un nombre quelconque d’asymptotes verticales, ou aucune. Certaines fonctions ont même une infinité de VA. Le graphique illustré ci-dessous a des asymptotes verticales à x = -3 et x = 1.
Parce que la définition implique des variables approchant des valeurs fixes, il ne devrait pas être choquant que des limites doivent être impliquées d’une manière ou d’une autre. La définition précise d’une asymptote verticale est la suivante. On dit que x = k est une VA pour une fonction f(x) si la limite gauche ou droite à x = k est infinie :
Formation des asymptotes verticales
Il y a deux façons principales de trouver les asymptotes verticales pour les problèmes de l’examen AP Calculus AB, graphiquement (à partir du graphique lui-même) et analytiquement (à partir de l’équation d’une fonction). Nous allons parler des deux.
Déterminer les asymptotes verticales à partir du graphique
Si un graphique est donné, alors cherchez toutes les ruptures dans le graphique. S’il semble qu’une branche de la fonction se tourne vers la verticale, alors vous êtes probablement en présence d’une VA. Il est utile de tracer une ligne verticale à la valeur x où vous pensez que l’asymptote devrait se trouver (voir le graphique ci-dessus). Notez, si une partie du graphique touche réellement votre ligne verticale, alors cette ligne n’est pas une asymptote après tout.
Détermination des asymptotes verticales à partir de l’équation
Si vous devez trouver des asymptotes verticales à l’examen AP, il est fort probable que le graphique ne vous sera pas donné. Vous devrez donc savoir ce qu’il faut chercher dans l’équation de la fonction elle-même. Demandez-vous où cette fonction a une limite infinie. Nous allons voir comment cela s’applique à deux types de fonctions différentes, les fonctions rationnelles et les fonctions trigonométriques.
Asymptotes verticales dans les fonctions rationnelles
Si votre fonction est rationnelle, c’est-à-dire si f(x) a la forme d’une fraction, f(x) = p(x) / q(x), dans laquelle p(x) et q(x) sont tous deux des polynômes, alors nous suivons ces deux étapes :
1. Factorisez à la fois le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas). Ceci est très important car si des facteurs finissent par s’annuler, alors ils ne contribueraient à aucune asymptote verticale.
2. Une fois que votre fonction rationnelle est complètement réduite, regardez les facteurs du dénominateur. S’il y a un facteur impliquant (x – a), alors x = a est une VA. S’il existe un facteur impliquant (x + a), alors x = -a est une VA. Notez comment le signe semble être opposé les deux fois (tout comme la résolution d’un polynôme factorisé qui a été mis égal à zéro).
Pratique de la recherche d’asymptotes verticales
Voyons comment notre méthode fonctionne. Trouvez la ou les asymptotes verticales de chaque fonction.
Solutions:
(a) Première factorisation et annulation.
Puisque le facteur x – 5 s’est annulé, il ne contribue pas à la réponse finale. Il ne reste que x + 5 en bas, ce qui signifie qu’il y a une seule VA en x = -5.
(b) Cette fois, il n’y a pas d’annulations après la factorisation.
Nous trouvons deux asymptotes verticales, x = 0 et x = -2.
Asymptotes verticales pour les fonctions trigonométriques
La méthode de factorisation ne s’applique qu’aux fonctions rationnelles. Cependant, de nombreux autres types de fonctions ont des asymptotes verticales. Les exemples les plus importants sont peut-être les fonctions trigonométriques. Sur les six fonctions trigonométriques standard, quatre d’entre elles possèdent des asymptotes verticales : tan x, cot x, sec x et csc x. En fait, chacune de ces quatre fonctions en possède une infinité !
Par exemple, f(x) = cot x possède une VA à chaque multiple entier de π. En d’autres termes, x = n π est une VA pour tout n = 0, ±1, ±2, ±3, …
Utilisation de votre calculatrice graphique
Des fonctions plus générales peuvent être plus difficiles à percer. Si vous travaillez sur une section de l’examen qui autorise l’utilisation d’une calculatrice graphique, alors vous pouvez simplement tracer le graphique de la fonction et essayer de repérer les ruptures du graphique auxquelles les valeurs des y deviennent non bornées. Certaines calculatrices, comme la TI-84, disposent même d’une option appelée détection des asymptotes, qui permet de tracer automatiquement le graphique des VA. Faites tout de même attention, si votre fenêtre de visualisation est trop petite, alors vous pouvez manquer une VA.
Conclusion
Les asymptotes sont juste certaines lignes qui nous renseignent sur le comportement des fonctions. Une asymptote verticale montre où la fonction a une limite infinie (valeurs y non bornées). Il est important de pouvoir repérer les VA sur un graphique donné ainsi que de les trouver analytiquement à partir de l’équation de la fonction. Votre calculatrice graphique peut également vous aider. Avec un peu de temps et de pratique, ces techniques peuvent facilement être maîtrisées, et les asymptotes verticales ne doivent donc pas être le « mur de briques » qui vous empêche d’aller loin à l’examen AP Calculus !
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