Factorielle

Qu’est-ce que la factorielle ?

La factorielle (dénotée ou représentée par n !) pour un nombre positif ou entier (qui est noté par n) est le produit de tous les nombres positifs précédant ou équivalant à n (l’entier positif). La fonction factorielle se retrouve dans divers domaines des mathématiques, notamment l’algèbre, l’analyse mathématique et la combinatoire.

Dès les années 1200, les factorielles étaient utilisées pour compter les permutations. La notation d’une factorielle (n !) a été introduite au début des années 1800 par Christian Kramp, un mathématicien français.

La formule de la factorielle peut être vue ci-dessous:

Définition de la factorielle

La fonction d’une factorielle est définie par le produit de tous les nombres entiers positifs antérieurs et/ou égaux à n, soit :

n ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙∙∙ (n-2) ∙ (n -1) ∙ n,

quand on considère des valeurs ou des entiers supérieurs ou égaux à 1. Elle peut alors s’écrire comme:

L’équation ci-dessus s’écrit selon la notation du produit pi, et aboutit à la relation récurrente vue ci-dessous:

n ! = n ∙ (n – 1) !.

On peut voir ci-dessous quelques exemples de cette notation :

• 4 ! = 4 ∙ 3!
• 7 ! = 7 ∙ 6!
• 80 ! = 80 ∙ 79 !, etc.

Tableau des factorielles

Le tableau ci-dessous donne un aperçu des factorielles pour les entiers compris entre 0 et 10:

Factorielle de 0 (zéro)

Il est largement connu que la factorielle de 0 est égale à 1 (un). Elle peut être dénotée comme:

0 ! = 1

Il existe plusieurs raisons pour justifier la notation et la définition stipulées ci-dessus. Tout d’abord, la définition fournit une autorisation pour une expression compacte d’un nombre considérable de formules, y compris la fonction exponentielle et la définition crée une extension de la relation de récurrence à 0.

En outre, lorsque n = 0, la définition de sa factorielle (n !) englobe le produit d’aucun nombre, ce qui signifie qu’elle est équivalente à l’identité multiplicative en termes plus larges.

De plus, la définition de la factorielle zéro ne comprend qu’une seule permutation de zéro ou d’aucun objet. Enfin, cette définition valide également un certain nombre d’identités en combinatoire.

Définitions à noter en relation avec la factorielle zéro

• Combinatoire : Un domaine des mathématiques qui se concentre sur le comptage.
• La permutation : En mathématiques, la permutation désigne l’arrangement des membres d’un ensemble dans un ordre ou une séquence linéaire.
• Relation de récurrence : La relation de récurrence, en mathématiques, fait référence à une équation qui définit une séquence ou un vaste ensemble de valeurs, de manière récursive. La récursion signifie définir quelque chose en termes d’elle-même.

Diverses applications de la fonction factorielle

La fonction factorielle peut être trouvée dans divers domaines des mathématiques. Tout d’abord, il existe n!es façons distinguées de ranger n objets spécifiques dans une séquence. Aussi, les factorielles peuvent être utilisées pour rendre compte de l’ignorance ou du non-respect de l’ordonnancement dans une formule, en servant de dénominateur.

Les factorielles se retrouvent également en algèbre via le théorème binomial et en calcul, où elles apparaissent dans les dénominateurs de la formule de Taylor. En outre, on peut trouver une factorielle dans les théories des probabilités et des nombres et elles peuvent être utilisées pour permettre la manipulation d’expressions.

Autres suites similaires à la factorielle

En mathématiques, il existe un certain nombre de suites comparables à la factorielle. Elles comprennent :

• Les factorielles doubles, qui sont utilisées pour simplifier les intégrales trigonométriques.
• Les factorielles multiples, qui peuvent être désignées par plusieurs points d’exclamation.
• Les primordiales, qui impliquent d’obtenir le produit des nombres premiers, inférieurs ou égaux à n.
• Les super-factorielles, qui se définissent comme le produit des n premières factorielles.
• Les hyper-factorielles, qui résultent de la multiplication d’un nombre de valeurs consécutives allant de 1 à n.

Ressources supplémentaires

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