Géométrie euclidienne

Fondamentaux

Euclide s’est rendu compte qu’un développement rigoureux de la géométrie devait commencer par les fondements. C’est pourquoi il a commencé les Éléments par quelques termes non définis, tels que « un point est ce qui n’a pas de partie » et « une ligne est une longueur sans largeur ». À partir de ces termes, il définit d’autres idées comme les angles, les cercles, les triangles et divers autres polygones et figures. Par exemple, un angle était défini comme l’inclinaison de deux lignes droites, et un cercle était une figure plane constituée de tous les points qui ont une distance fixe (rayon) à partir d’un centre donné.

Comme base pour d’autres déductions logiques, Euclide a proposé cinq notions communes, telles que « les choses égales à la même chose sont égales », et cinq principes non prouvables mais intuitifs connus diversement comme postulats ou axiomes. Énoncés en termes modernes, les axiomes sont les suivants :

• 1. Étant donné deux points, il existe une droite qui les joint.
• 2. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment.
• 3. Un cercle peut être construit lorsqu’on donne un point pour son centre et une distance pour son rayon.
• 4. Tous les angles droits sont égaux.
• 5. Si une droite tombant sur deux droites rend les angles intérieurs du même côté inférieurs à deux angles droits, les deux droites, si elles sont produites indéfiniment, se rencontreront sur le côté sur lequel les angles sont inférieurs aux deux angles droits.

Hilbert a raffiné les axiomes (1) et (5) comme suit :

• 1. Pour deux points différents quelconques, (a) il existe une droite contenant ces deux points, et (b) cette droite est unique.
• 5. Pour toute ligne L et tout point p non situé sur L, (a) il existe une ligne passant par p et ne rencontrant pas L, et (b) cette ligne est unique.

Le cinquième axiome est devenu connu sous le nom de « postulat de parallélisme », car il fournit une base pour l’unicité des lignes parallèles. (Il a également suscité un grand intérêt parce qu’il semblait moins intuitif ou évident que les autres. Au XIXe siècle, Carl Friedrich Gauss, János Bolyai et Nikolay Lobachevsky ont tous commencé à expérimenter avec ce postulat, pour finalement aboutir à de nouvelles géométries non euclidiennes). Les cinq axiomes ont fourni la base de nombreux énoncés prouvables, ou théorèmes, sur lesquels Euclide a construit sa géométrie. Le reste de cet article explique brièvement les théorèmes les plus importants de la géométrie euclidienne plane et solide.