Nombre premier de Mersenne

Un nombre premier de Mersenne est un nombre premier qui peut s’écrire sous la forme 2n-12^{n}-12n-1. Par exemple 313131 est un nombre premier de Mersenne qui peut s’écrire sous la forme 25-12^{5}-125-1. Les premiers nombres premiers de Mersenne sont 3,7,31,127,81913, 7, 31, 127, 81913,7,31,127,8191. Il y a 50 nombres premiers de Mersenne connus en juin 2018, même si nous espérons que cela changera à l’avenir. Une chose intéressante à propos des nombres premiers de Mersenne est qu’ils sont les nombres naturels les plus faciles à prouver comme étant des nombres premiers, ils constituent donc la plus grande catégorie sur la liste des nombres premiers connus.

La recherche et la curiosité pour les nombres premiers de Mersenne sont venues de l’étude des nombres parfaits. Un nombre parfait est un nombre qui peut être écrit comme la somme de ses diviseurs propres positifs. Par exemple, 666 est un nombre parfait car il peut s’écrire 6=1+2+36=1+2+36=1+2+3, et c’est d’ailleurs le plus petit nombre parfait. Le nombre parfait suivant est 28=1+2+4+7+1428=1+2+4+7+1428=1+2+4+7+14.

On peut montrer que si un entier positif aaa peut être écrit sous la forme 2n-1(2n-1)2^{n-1}(2^{n}-1)2n-1(2n-1), tel que 2n-12^{n}-12n-1 est un nombre premier, alors aaa doit être un nombre parfait pair. Nous avons vu que si 2n-12^{n}-12n-1 est un nombre premier, alors c’est un nombre premier de Mersenne, ce qui crée une correspondance biunivoque entre les nombres premiers de Mersenne et les nombres pairs parfaits. En d’autres termes, chaque nombre premier de Mersenne correspond à exactement un nombre parfait pair ! (Jusqu’à présent, aucun nombre parfait impair n’a été trouvé.)

Preuve que si 2n-12^{n}-12n-1 est premier, alors nnn doit aussi être premier.

Déterminez ppp et qqq comme des entiers positifs supérieurs à un tels que n=p⋅qn=p\cdot qn=p⋅q. Alors en utilisant l’identité de factorisation,

2pq-1=(2p-1)⋅(1+2p+22p+23p+⋯+2p(q-1)).{ 2 }^{ pq }-1=\left( { 2 }^{ p }-1 \right) \cdot \left( 1+{ 2 }^{ p }+{ 2 }^{ 2p }+{ 2 }^{ 3p }+\cdots+{ 2 }^{ p(q-1) } \right). 2pq−1=(2p−1)⋅(1+2p+22p+23p+⋯+2p(q−1)).

Donc si nnn est composite et WLOG 1<p<q1<p<q1<p<q, alors on a le terme 2n-12^{n}-12n-1 qui est composite car il est divisible par le terme 2p-12^{p}-12p-1. □_\square□

La preuve nous dit que si 2n-12^{n}-12n-1 est premier, alors nnn est aussi premier. Mais elle ne garantit pas que si nnn est premier, alors 2n-12^{n}-12n-1 est premier, car nous n’avons pas considéré le deuxième terme de l’équation ci-dessus. Un exemple typique est 11:11:11 : même s’il s’agit d’un nombre premier, 211-1=20472^{11}-1=2047211-1=2047 n’est pas un nombre premier.

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