Résoudre des équations exponentielles avec des logarithmes
De la définitionAvec des logarithmesAvec des calculatrices
Purplemath
La plupart des équations exponentielles ne se résolvent pas proprement ; il n’y aura aucun moyen de convertir les bases pour qu’elles soient les mêmes, comme la conversion de 4 et 8 en puissances de 2. Pour résoudre ces équations plus compliquées, vous devrez utiliser des logarithmes.
Prendre des logarithmes nous permettra de profiter de la règle du logarithme qui dit que les puissances à l’intérieur d’un logarithme peuvent être déplacées devant comme multiplicateurs. En prenant le logarithme d’une exponentielle, nous pouvons alors déplacer la variable (étant dans l’exposant qui est maintenant à l’intérieur d’un logarithme) à l’avant, comme un multiplicateur sur le logarithme. En d’autres termes, la règle du logarithme va nous permettre de ramener la variable sur le terrain, là où nous pouvons mettre la main dessus.
Par exemple :
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Solve 2x = 30
Si cette équation m’avait demandé de » résoudre 2x = 32 « , alors trouver la solution aurait été facile, car j’aurais pu convertir le 32 en 25, mettre les exposants égaux et résoudre » x = 5 « . Mais, contrairement à 32, 30 n’est pas une puissance de 2 et je ne peux donc pas rendre les puissances égales entre elles. J’ai besoin d’une autre méthode pour obtenir le x, car je ne peux pas résoudre l’équation avec la variable flottant au-dessus du 2 ; je dois la ramener sur le sol, là où elle doit être, là où je peux l’atteindre. Et je vais devoir utiliser les logarithmes pour faire redescendre cette variable.
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Lorsque je traite des équations, je peux faire ce que je veux à l’équation, tant que je fais la même chose des deux côtés. Et, pour résoudre une équation, je dois obtenir la variable par elle-même d’un côté du signe » égal » ; pour isoler la variable, je dois » défaire » ce qui a été fait à la variable.
Dans ce cas, la variable x a été mise dans l’exposant. L’envers (techniquement, « l’inverse ») des exponentielles sont les logarithmes, donc je vais devoir défaire l’exposant en prenant le log des deux côtés de l’équation. Cela m’est utile grâce à la règle du logarithme qui dit que les exposants à l’intérieur d’un logarithme peuvent être transformés en multiplicateurs devant le logarithme :
logb(mn) = n – logb(m)
Lorsque je prends le logarithme des deux côtés d’une équation, je peux utiliser le logarithme que je veux (logarithme en base 10, logarithme en base 2, logarithme naturel, etc.), mais certains sont parfois plus utiles que d’autres. Puisque la base de l’équation » 2x = 30 » est » 2 « , je pourrais essayer d’utiliser un logarithme en base-2 :
log2(2x) = log2(30)
Tout logarithme de la base du logarithme renvoie une valeur de 1, donc log2(2) = 1. Alors :
x – log2(2) = log2(30)
x(1) = log2(30)
x = log2(30)
Si on vous demande de » trouver la solution « , alors ce qui précède devrait être une réponse acceptable. Cependant, cette valeur, bien qu' »exacte », ne sera pas très utile pour les problèmes de mots (ou dans la « vraie vie ») si vous avez besoin d’une approximation numérique.
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Mais nous ne pouvons pas évaluer cette expression dans nos calculatrices en l’état. D’abord, nous devrions appliquer la formule de changement de base pour convertir l’expression en quelque chose dans une base que nos calculatrices peuvent comprendre ; à savoir, le logarithme naturel ou le logarithme commun. Cette conversion ressemble à ceci :
x = log2(30)
Rappel : Le « ln » est l’abréviation de « logarithmus naturalis », la version latine de ce qui est devenu « natural log » en anglais. L’abréviation se prononce « ell-enn » et s’écrit avec un « L » minuscule suivi d’un « N » minuscule. Il n’y a pas de « I » (« eye ») dans le nom de la fonction !
Que se serait-il passé si j’avais simplement utilisé le log naturel, au lieu d’un log en base deux, en premier lieu ? Le processus aurait été exactement le même, et la réponse éventuelle aurait été équivalente.
2x = 30
ln(2x) = ln(30)
x – ln(2) = ln(30)
Dans les deux cas, j’obtiens la même réponse, mais prendre le logarithme naturel en premier lieu était plus simple et plus court.
Note : j’aurais pu utiliser le logarithme commun (en base 10) au lieu du logarithme naturel (c’est-à-dire en base e), et arriver à la même valeur (lorsqu’elle est évaluée dans la calculatrice).
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Puisque la science utilise autant le logarithme naturel, et comme c’est l’un des deux logarithmes que les calculatrices peuvent évaluer, j’ai tendance à prendre le logarithme naturel des deux côtés lors de la résolution d’équations exponentielles. Ce n’est pas (généralement) obligatoire, mais c’est souvent plus utile que les autres options.
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Résolvez 5x = 212. Donnez votre réponse sous forme exacte et sous forme d’approximation décimale à trois chiffres.
Puisque 212 n’est pas une puissance de 5, alors je vais devoir utiliser des logs pour résoudre cette équation. Je pourrais prendre le logarithme en base 5 de chaque côté, résoudre, puis appliquer la formule de changement de base, mais je pense que je préférerais simplement utiliser le logarithme naturel en premier lieu :
5x = 212
ln(5x) = ln(212)
x – ln(5) = ln(212)
….soit environ 3,328, arrondi à trois décimales.
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Solvons 102x = 52
Puisque 52 n’est pas une puissance de 10, je vais devoir utiliser des logarithmes pour résoudre cela. Dans ce cas particulier, puisque la base est 10 et que les logs en base 10 peuvent être faits sur la calculatrice, je vais utiliser le log commun au lieu du log naturel pour résoudre cette équation particulière :
102x = 52
log(102x) = log(52)
2x – log(10) = log(52)
2x(1) = log(52)
2x = log(52)
….soit environ 0,858, arrondi à la troisième décimale.
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3(2x+4) = 350
Avant de commencer à regarder l’exponentielle, je dois d’abord me débarrasser du 3, donc je vais le diviser pour obtenir :
Puisque
n’est pas une puissance de 2, je vais devoir utiliser des logs. Je vais utiliser le logarithme naturel dans ce cas :
….soit environ 2,866, arrondi à trois décimales.
Note : Vous pourriez également résoudre ce qui précède en utilisant les règles de l’exposant pour décomposer la puissance sur le 2 :
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