Équation de Darcy-Weisbach

Le facteur de friction fD n’est pas une constante : il dépend notamment des caractéristiques de la conduite (diamètre D et hauteur de rugosité ε), des caractéristiques du fluide (sa viscosité cinématique ν ) et de la vitesse d’écoulement du fluide ⟨v⟩. Elle a été mesurée avec une grande précision dans certains régimes d’écoulement et peut être évaluée par l’utilisation de diverses relations empiriques, ou elle peut être lue à partir de graphiques publiés. Ces diagrammes sont souvent appelés diagrammes de Moody, d’après L. F. Moody, et donc le facteur lui-même est parfois erronément appelé facteur de friction de Moody. Il est aussi parfois appelé facteur de friction de Blasius, d’après la formule approximative qu’il a proposée.

La figure 1 montre la valeur de fD telle que mesurée par les expérimentateurs pour de nombreux fluides différents, sur une large gamme de nombres de Reynolds, et pour des tuyaux de différentes hauteurs de rugosité. Trois grands régimes d’écoulement du fluide sont rencontrés dans ces données : laminaire, critique et turbulent.

Régime laminaireEdit

Pour les écoulements laminaires (lisses), c’est une conséquence de la loi de Poiseuille (qui découle d’une solution classique exacte pour l’écoulement du fluide) que

f D = 64 R e , {\displaystyle f_{\mathrm {D} }={\frac {64}{{\mathrm {Re}} où Re est le nombre de Reynolds R e = ρ μ ⟨ v ⟩ D = ⟨ v ⟩ D ν , {\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho }{\mu }}\langle v\rangle D={\frac {\langle v\rangle D}{\nu }},

et où μ est la viscosité du fluide et

ν = μ ρ {\displaystyle \nu ={\frac {\mu}{\rho }}

est connue comme la viscosité cinématique. Dans cette expression du nombre de Reynolds, la longueur caractéristique D est considérée comme étant le diamètre hydraulique du tuyau, qui, pour un tuyau cylindrique à écoulement plein, est égal au diamètre intérieur. Dans les figures 1 et 2 du facteur de friction en fonction du nombre de Reynolds, le régime Re < 2000 démontre un écoulement laminaire ; le facteur de friction est bien représenté par l’équation ci-dessus.

En effet, la perte de friction dans le régime laminaire est plus précisément caractérisée comme étant proportionnelle à la vitesse d’écoulement, plutôt que proportionnelle au carré de cette vitesse : on pourrait considérer l’équation de Darcy-Weisbach comme n’étant pas vraiment applicable dans le régime d’écoulement laminaire.

Dans un écoulement laminaire, la perte par frottement provient du transfert de quantité de mouvement du fluide au centre de l’écoulement vers la paroi du tuyau via la viscosité du fluide ; aucun tourbillon n’est présent dans l’écoulement. Notons que la perte par frottement est insensible à la hauteur de rugosité ε du tuyau : la vitesse de l’écoulement au voisinage de la paroi du tuyau est nulle.

Régime critiqueEdit

Pour des nombres de Reynolds de l’ordre de 2000 < Re < 4000, l’écoulement est instationnaire (varie grossièrement avec le temps) et varie d’une section de la conduite à l’autre (n’est pas « pleinement développé »). L’écoulement implique la formation naissante de tourbillons ; il n’est pas bien compris.

Régime turbulentEdit

Pour un nombre de Reynolds supérieur à 4000, l’écoulement est turbulent ; la résistance à l’écoulement suit l’équation de Darcy-Weisbach : elle est proportionnelle au carré de la vitesse moyenne d’écoulement. Sur un domaine de plusieurs ordres de grandeur de Re (4000 < Re < 108), le facteur de friction varie de moins d’un ordre de grandeur (0,006 < fD < 0,06). Au sein du régime d’écoulement turbulent, la nature de l’écoulement peut encore être divisée en un régime où la paroi de la conduite est effectivement lisse, et un régime où sa hauteur de rugosité est saillante.

Régime de conduite lisseEdit

Lorsque la surface de la conduite est lisse (la courbe « conduite lisse » de la figure 2), la variation du facteur de friction en fonction de Re peut être modélisée par l’équation de résistance de Kármán-Prandtl pour un écoulement turbulent dans des conduites lisses, les paramètres étant convenablement ajustés

1 f D = 1.930 log ( R e f D ) – 0.537. {\displaystyle {\frac {1}{sqrt {f_{\mathrm {D}}}}} }}}}=1.930\log \left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D}}}\right)-0.537.}

Les nombres 1,930 et 0,537 sont phénoménologiques ; ces valeurs spécifiques fournissent un ajustement assez bon aux données. Le produit Re√fD (appelé  » nombre de Reynolds de friction « ) peut être considéré, comme le nombre de Reynolds, comme un paramètre (sans dimension) de l’écoulement : à des valeurs fixes de Re√fD, le facteur de friction est également fixe.

Dans l’équation de résistance de Kármán-Prandtl, fD peut être exprimé sous forme fermée comme une fonction analytique de Re grâce à l’utilisation de la fonction W de Lambert :

1 f D = 1.930 ln ( 10 ) W ( 10 – 0.537 1.930 ln ( 10 ) 1.930 R e ) = 0.838 W ( 0.629 R e ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D}} }}}}={\frac {1.930}{\ln(10)}}W\left(10^{\frac {-0.537}{1.930}}{\frac {\ln(10)}{1.930}\mathrm {Re} \right)=0.838\ W(0.629\ \mathrm {Re} )}

Dans ce régime d’écoulement, de nombreux petits tourbillons sont responsables du transfert de quantité de mouvement entre la masse du fluide et la paroi du tuyau. Lorsque le nombre de Reynolds de friction Re√fD augmente, le profil de la vitesse du fluide se rapproche asymptotiquement de la paroi, transférant ainsi davantage de quantité de mouvement à la paroi de la conduite, comme le modélise la théorie de la couche limite de Blasius.

Rough-pipe regimeEdit

Lorsque la hauteur de rugosité ε de la surface du tuyau est importante (typiquement à un nombre de Reynolds élevé), le facteur de friction s’écarte de la courbe du tuyau lisse, pour finalement s’approcher d’une valeur asymptotique (régime « rough pipe »). Dans ce régime, la résistance à l’écoulement varie en fonction du carré de la vitesse moyenne d’écoulement et est insensible au nombre de Reynolds. Ici, il est utile d’employer encore un autre paramètre sans dimension de l’écoulement, le nombre de Reynolds de la rugosité

R ∗ = 1 8 ( R e f D ) ε D {\displaystyle R_{*}={\frac {1}{\sqrt {8}}\left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D}}}\,\right){\frac {\varepsilon }{D}}

où la hauteur de rugosité ε est mise à l’échelle du diamètre D du tuyau.

Il est illustratif de tracer la fonction de rugosité B :

B ( R ∗ ) = 1 1.930 f D + log ( 1.90 8 ⋅ ε D ) {\displaystyle B(R_{*})={\frac {1}{1.930{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}+\log \left({\frac {1.90}{\sqrt {8}}\cdot {\frac {\varepsilon }{D}}\right)}

La figure 3 montre B en fonction de R∗ pour les données de tuyaux rugueux de Nikuradse, Shockling, et Langelandsvik.

Dans cette vue, les données à différents rapports de rugosité ε/D tombent ensemble lorsqu’elles sont tracées en fonction de R∗, démontrant une mise à l’échelle dans la variable R∗. Les caractéristiques suivantes sont présentes :

• Lorsque ε = 0, alors R∗ est identiquement nul : l’écoulement est toujours dans le régime de tuyau lisse. Les données de ces points se situent à l’extrême gauche de l’abscisse et ne sont pas dans le cadre du graphique.
• Lorsque R∗ < 5, les données se situent sur la droite B(R∗) = R∗ ; l’écoulement est en régime de tuyau lisse.
• Lorsque R∗ > 100, les données s’approchent asymptotiquement d’une ligne horizontale ; elles sont indépendantes de Re, fD, et ε/D.
• La plage intermédiaire de 5 < R∗ < 100 constitue une transition d’un comportement à l’autre. Les données s’écartent de la droite B(R∗) = R∗ très lentement, atteignent un maximum au voisinage de R∗ = 10, puis tombent à une valeur constante.

Un ajustement à ces données dans la transition du régime de tuyau lisse au régime de tuyau rugueux emploie une expression exponentielle dans R∗ qui assure un comportement approprié pour 1 < R∗ < 50 (la transition du régime de tuyau lisse au régime de tuyau rugueux):

1 f D = – 1.930 log ( 1.90 R e f D ( 1 + 0.34 R ∗ exp – 11 R ∗ ) ) , {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D}} }}}}=-1.930\log \left({\frac {1.90}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+0.34R_{*}\exp {\frac {-11}{R_{*}}\right)\right),}

Cette fonction partage les mêmes valeurs pour son terme en commun avec l’équation de résistance de Kármán-Prandtl, plus un paramètre 0.34 pour s’adapter au comportement asymptotique pour R∗ → ∞ ainsi qu’un autre paramètre, 11, pour gouverner la transition d’un écoulement lisse à un écoulement rugueux. Elle est exposée à la figure 3.

La relation de Colebrook-White ajuste le facteur de friction avec une fonction de la forme

1 f D = – 2,00 log ( 2,51 R e f D ( 1 + R ∗ 3,3 ) ) . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2.00\log \left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+{\frac {R_{*}}{3.3}}\right)\right).}

Cette relation a un comportement correct pour des valeurs extrêmes de R∗, comme le montre la courbe étiquetée de la figure 3 : lorsque R∗ est petit, elle est cohérente avec un écoulement de tuyau lisse, lorsqu’il est grand, elle est cohérente avec un écoulement de tuyau rugueux. Cependant sa performance dans le domaine transitoire surestime le facteur de friction par une marge substantielle. Colebrook reconnaît la divergence avec les données de Nikuradze mais soutient que sa relation est cohérente avec les mesures sur les tuyaux commerciaux. En effet, de tels tuyaux sont très différents de ceux soigneusement préparés par Nikuradse : leurs surfaces sont caractérisées par de nombreuses hauteurs de rugosité différentes et une distribution spatiale aléatoire des points de rugosité, alors que ceux de Nikuradse ont des surfaces à hauteur de rugosité uniforme, avec des points extrêmement serrés.

Calcul du facteur de friction à partir de sa paramétrisationEdit

Pour un écoulement turbulent, les méthodes permettant de trouver le facteur de friction fD comprennent l’utilisation d’un diagramme, tel que le diagramme de Moody, ou la résolution d’équations telles que l’équation de Colebrook-White (sur laquelle le diagramme de Moody est basé), ou l’équation de Swamee-Jain. Alors que la relation de Colebrook-White est, dans le cas général, une méthode itérative, l’équation de Swamee-Jain permet de trouver directement fD pour un écoulement complet dans un tuyau circulaire.

Calcul direct lorsque la perte par frottement S est connueModifier

Dans les applications d’ingénierie typiques, il y aura un ensemble de quantités données ou connues. L’accélération de la gravité g et la viscosité cinématique du fluide ν sont connues, tout comme le diamètre du tuyau D et sa hauteur de rugosité ε. Si de plus la perte de charge par unité de longueur S est une quantité connue, alors le facteur de friction fD peut être calculé directement à partir de la fonction d’ajustement choisie. En résolvant l’équation de Darcy-Weisbach pour √fD,

f D = 2 g S D ⟨ v ⟩ {\displaystyle {\sqrt {f_{\mathrm {D}}. }}={\frac {\sqrt {2gSD}}{\langle v\rangle }}

Nous pouvons maintenant exprimer Re√fD:

R e f D = 1 ν 2 g S D 3 {\displaystyle \mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}={\frac {1}{\nu }}{\sqrt {2g}{\sqrt {S}}{\sqrt {D^{3}}}}

Exprimer le nombre de Reynolds de rugosité R∗,

R ∗ = ε D ⋅ R e f D ⋅ 1 8 = 1 2 g ν ε S D {\displaystyle {\begin{aligned}R_{*}&={\frac {\varepsilon }{D}}\cdot \mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}\cdot {\frac {1}{\sqrt {8}}\&={\frac {1}{2}{\frac {\sqrt {g}}{\nu }}\varepsilon {\sqrt {S}{\sqrt {D}\end{aligned}}}

Nous avons les deux paramètres nécessaires pour substituer dans la relation de Colebrook-White, ou toute autre fonction, le facteur de friction fD, la vitesse d’écoulement ⟨v⟩, et le débit volumétrique Q.

Confusion avec le facteur de friction de FanningEdit

Le facteur de friction de Darcy-Weisbach fD est 4 fois plus grand que le facteur de friction de Fanning f, il faut donc faire attention à noter lequel des deux est visé dans tout tableau ou équation de « facteur de friction » utilisé. Des deux, le facteur Darcy-Weisbach fD est plus couramment utilisé par les ingénieurs civils et mécaniques, et le facteur Fanning f par les ingénieurs chimistes, mais il faut veiller à identifier le facteur correct quelle que soit la source du tableau ou de la formule.

Notez que

Δ p = f D ⋅ L D ⋅ ρ ⟨ v ⟩ 2 2 = f ⋅ L D ⋅ 2 ρ ⟨ v ⟩ 2 {\displaystyle \Delta p=f_{\mathrm {D}} }\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {\frac {\rho {\langle v\rangle }^{2}}{2}}=f\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {2\rho {\langle v\rangle }^{2}}}

La plupart des graphiques ou des tableaux indiquent le type de facteur de friction, ou au moins fournissent la formule du facteur de friction avec un écoulement laminaire. Si la formule pour un écoulement laminaire est f = 16/Re, il s’agit du facteur f de Fanning, et si la formule pour un écoulement laminaire est fD = 64/Re, il s’agit du facteur fD de Darcy-Weisbach.

Le facteur de friction qui est tracé dans un diagramme de Moody peut être déterminé par inspection si l’éditeur n’a pas inclus la formule décrite ci-dessus :

1. Observez la valeur du facteur de friction pour un écoulement laminaire à un nombre de Reynolds de 1000.
2. Si la valeur du facteur de friction est de 0,064, alors le facteur de friction de Darcy est tracé dans le diagramme de Moody. Notez que les chiffres non nuls de 0,064 sont le numérateur de la formule du facteur de friction de Darcy laminaire : fD = 64/Re.
3. Si la valeur du facteur de friction est de 0,016, alors le facteur de friction de Fanning est tracé dans le diagramme de Moody. Notez que les chiffres non nuls de 0,016 sont le numérateur de la formule du facteur de friction de Fanning laminaire : f = 16/Re.

La procédure ci-dessus est similaire pour tout nombre de Reynolds disponible qui est une puissance entière de dix. Il n’est pas nécessaire de se souvenir de la valeur 1000 pour cette procédure – seulement qu’une puissance entière de dix est intéressante à cette fin.

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