6 cose che probabilmente non sapevi'del Pi greco

Oggi è il Pi greco. Sai, il 14 marzo. 3/14 è una specie di 3,14. Capito? OK, è un po’ esagerato perché 3/14 sembra una frazione e non il Pi greco. Comunque sia. Lo chiamiamo ancora Pi Day.

Anche se la data del Pi Day è un po’ strana, il Pi greco è ancora abbastanza fantastico. Ecco alcune cose che potresti non sapere sul Pi greco.

Ci sono molte approssimazioni per il Pi greco

Se hai un cerchio, puoi misurare due cose: la distanza intorno al perimetro del cerchio (circonferenza) e la distanza attraverso la parte più larga del cerchio (diametro). Non importa quanto sia grande il tuo cerchio, il rapporto tra circonferenza e diametro è il valore di Pi greco. Pi greco è un numero irrazionale – non puoi scriverlo come un decimale non-infinito. Questo significa che hai bisogno di un valore approssimativo per Pi.

Vedi altro

L’approssimazione più semplice per Pi è solo 3. Sì, sappiamo tutti che non è corretto, ma può almeno farti iniziare se vuoi fare qualcosa con i cerchi. In passato, molti libri di matematica indicavano Pi greco come 22/7. Di nuovo, questa è solo un’approssimazione, ma è meglio del valore di 3 (in realtà 22/7 è più vicino al Pi greco che scrivere semplicemente 3,14).

La prima storia della matematica copre molte approssimazioni del valore del Pi greco. Il metodo più comune sarebbe quello di costruire un poligono con molti lati e usarlo per calcolare il perimetro e il diametro come stima del Pi greco. Altre culture hanno trovato il modo di scrivere il Pi greco come una serie infinita–ma senza un computer, questo può essere difficile da calcolare molto lontano.

Puoi calcolare un mucchio di cifre del Pi

Ci sono molti metodi per calcolare il Pi greco ma io andrò sul più semplice da capire. Si comincia con la funzione tangente inversa. Sappiamo che la tangente inversa di 1 è π/4 e possiamo usarla per calcolare il Pi greco. No, non puoi semplicemente inserirla nella tua calcolatrice e ottenere Pi greco – questo presuppone che tu conosca già Pi greco. Invece, dobbiamo fare un’espansione della serie di Taylor della tangente inversa.

L’idea di base della serie di Taylor è che qualsiasi funzione assomiglia ad una serie di potenza se ci si concentra solo su una parte di quella funzione. Usando questo, posso rappresentare la tangente inversa di un certo valore (x) come una serie infinita:

Espandere questa funzione intorno al punto x = 1 dovrebbe essere uguale a π/4. Ciò significa che otteniamo quanto segue per π: (nota: equazione fissa il 3/14/16)

Ecco fatto. Ora potete semplicemente lavorare a questa formula per tutto il tempo che volete— oppure potete farlo fare a un computer. Ecco un programma che calcola i primi 10.000 termini della serie (basta premere play per eseguirlo):

Vedi altro

Vedi, non è così difficile per un computer. Tuttavia, puoi vedere che anche dopo 10.000 termini il valore calcolato è ancora diverso dal valore accettato. Questa non è la serie migliore per calcolare il Pi greco–ma l’ho detto prima.

Puoi calcolare il Pi greco con numeri casuali

Questa è la mia attività preferita sul Pi greco. Ecco l’idea. Genera coppie di numeri casuali tra 0 e 1 per creare coordinate x,y casuali. Traccia questi punti su una griglia 1 per 1 e calcola la loro distanza dall’origine. Alcuni di questi avranno una distanza dall’origine inferiore a 1 e alcuni saranno maggiori di 1. I punti con una distanza inferiore a uno sono “dentro un cerchio” – in realtà è un quarto di un cerchio. Quindi, contando i punti all’interno del cerchio rispetto al totale dei punti ottengo una stima dell’area di questo cerchio che dovrebbe essere π/4. Tutto qui.

OK, ecco il programma.

Vedi di più

Si dovrebbe davvero giocare con questo (perché è divertente). Provate a cambiare il numero di punti o qualcosa del genere. Ho incluso una dichiarazione “rate(1000)” così potete vedere i punti che vengono aggiunti. Oh, eseguitelo più di una volta–ogni volta otterrete un risultato diverso a causa della parte casuale.

C’è una connessione tra Pi e gravità

Prendete la vostra calcolatrice. Usa 9,8 m/s2 per la costante gravitazionale locale (g). Ora prova questo:

Questo è abbastanza vicino al valore accettato del Pi greco–e non è una coincidenza. Deriva dalla versione originale del metro come unità di lunghezza. Un modo per definire un metro è quello di creare un pendolo che impiega 1 secondo per fare un’oscillazione (o 2 secondi per il periodo). Se vi ricordate, c’è una relazione tra periodo e lunghezza per un pendolo (con una piccola ampiezza di oscillazione):

Mettete 1 metro per la lunghezza e 2 secondi per il periodo e boom— ecco il vostro collegamento. Ecco una spiegazione più dettagliata.

Pi è in un gruppo di cinque super numeri

Questa è l’identità di Eulero.

Se non pensate che questa equazione sia folle e fantastica, allora non siete attenti. Fa una relazione tra questi cinque numeri:

• Pi: sai, cerchi e cose del genere.
• e: il numero naturale. Questo numero è molto importante nel calcolo e in altre cose (ecco la mia spiegazione di prima).
• i: il numero immaginario. Con questo numero (la radice quadrata di 1 negativo) possiamo scrivere i numeri complessi (combinazione di reale e immaginario).
• 1: l’identità moltiplicativa. Può sembrare sciocco, ma moltiplicare per uno è molto importante – basta prendere le conversioni di unità come esempio.
• 0: l’identità additiva. Senza il numero zero, non puoi davvero avere il valore di luogo, quindi sei bloccato con un sistema numerico come i numeri romani.

Ma perché questa equazione funziona? Non è una risposta così semplice. Certo, si potrebbe usare la formula di Eulero per gli esponenziali:

Tuttavia, è un po’ come spiegare la magia con altra magia. Per me, il problema è che ci piace pensare ai numeri come a cose reali contate. Ma non si può contare un numero immaginario. Si può dire che 32 è come 3 gruppi di 3, ma che dire di 31,32? O che dire di 3-3,2i? Sono piuttosto difficili da immaginare. Se vuoi ancora capire questa identità di Eulero, guarda questo sito.

152 decimali di Pi greco sono probabilmente sufficienti

Immagina una grande sfera. Se conosci il diametro di questa grande sfera, puoi anche trovare la circonferenza usando il valore di Pi greco. Ora sostituisci la sfera con il diametro dell’universo osservabile a 93 miliardi di anni luce (sì, so che questo è più grande di 13 miliardi di anni luce–è complicato). Se non conosciamo il valore esatto del Pi greco, ma 152 cifre, allora non conosciamo la circonferenza esatta. Tuttavia, l’incertezza della circonferenza è inferiore alla lunghezza di Planck–la più piccola unità di misura della distanza che abbia un significato. C’è bisogno di ancora meno cifre di Pi per ottenere un’incertezza nella circonferenza più piccola della dimensione di un atomo.

Quindi, dovremmo smettere di cercare sempre più cifre di Pi? No, dobbiamo continuare la ricerca di una migliore appossimazione del Pi greco. Comunque, chissà cosa troveremo tra le cifre di Pi greco. C’è già il punto di Feynman in cui c’è una sequenza di sei 9 in fila. E non dimenticare questo classico fumetto di xkcd.

Compiti

Vuoi i compiti per il Pi greco? OK, ecco alcune domande per te.

• Trova una ricetta numerica migliore per calcolare le cifre del Pi greco e falla (in Python o altro). Attenzione, forse dovrete importare qualcosa come il modulo decimale in modo da poter visualizzare molte cifre del numero.
• Calcolate (o stimate) quante cifre di Pi greco vi servono per calcolare la circonferenza dell’universo entro la dimensione di 1 atomo.
• Assumendo che le cifre di Pi siano casuali, qual è la probabilità di trovare una serie di sette 9 in fila? Quante cifre dovresti calcolare per avere il 50% di probabilità di vedere questi sette 9 nove? Cambia il programma in modo che tracci punti casuali in tre dimensioni invece che in due sole.