Come si trovano gli asintoti verticali di una funzione?
In questo articolo parleremo della temuta parola A, asintoto. Nella mia esperienza, gli studenti spesso si fissano su questo termine e possono credere che questo tipo di problemi sia impossibile. Ma con una solida comprensione dei concetti e alcune tecniche algebriche nella vostra cassetta degli attrezzi, non è troppo difficile individuare gli asintoti verticali di una funzione.
I tipi di asintoti
Ci sono tre tipi di asintoti: orizzontale, verticale e obliquo. Questo articolo si concentra sugli asintoti verticali. Gli asintoti orizzontali sono discussi altrove, e gli asintoti obliqui sono rari da vedere all’esame AP (per maggiori informazioni sugli asintoti obliqui, o inclinati, vedi questo articolo e questo utile video).
Asintoti verticali
Un asintoto verticale (o VA in breve) per una funzione è una linea verticale x = k che mostra dove una funzione f(x) diventa senza limiti. In altre parole, i valori y della funzione diventano arbitrariamente grandi in senso positivo (y→ ∞) o negativo (y→ -∞) quando x si avvicina a k, sia da sinistra che da destra.
Un asintoto verticale è come un “muro di mattoni” che la funzione non può attraversare. Immaginate di essere in volo su un aereo e davanti a voi vedete un’enorme montagna. Se non potete andare a sinistra o a destra intorno alla montagna cosa fareste? Probabilmente volereste verso l’alto per evitare di colpirla. Ora immaginate che la montagna sia verticale e infinitamente alta. Allora potresti volare verso l’alto all’infinito per evitare di colpirla, e comunque non riusciresti mai a superare la montagna!
Una funzione può avere qualsiasi numero di asintoti verticali, o nessuno. Alcune funzioni hanno addirittura un numero infinito di VA. Il grafico mostrato qui sotto ha asintoti verticali a x = -3 e x = 1.
Perché la definizione coinvolge variabili che si avvicinano a valori fissi, non dovrebbe essere una sorpresa che i limiti debbano essere coinvolti in qualche modo. La definizione precisa di un asintoto verticale è la seguente. Diciamo che x = k è un VA per una funzione f(x) se il limite sinistro o destro di x = k è infinito:
Trovare gli asintoti verticali
Ci sono due modi principali per trovare gli asintoti verticali per problemi dell’esame AP Calculus AB, graficamente (dal grafico stesso) e analiticamente (dall’equazione di una funzione). Parleremo di entrambi.
Determinare gli asintoti verticali dal grafico
Se viene dato un grafico, cercate qualsiasi interruzione nel grafico. Se sembra che un ramo della funzione giri verso la verticale, allora probabilmente stai guardando una VA. Aiuta a disegnare una linea verticale al valore di x dove pensi che l’asintoto dovrebbe essere (vedi il grafico mostrato sopra). Nota, se parte del grafico tocca effettivamente la tua linea verticale, allora quella linea non è affatto un asintoto.
Determinare gli asintoti verticali dall’equazione
Se devi trovare gli asintoti verticali all’esame AP, molto probabilmente non ti verrà dato il grafico. Quindi dovrai sapere cosa cercare nell’equazione della funzione stessa. Chiediti: dove ha un limite infinito questa funzione? Vedremo come questo si applica a due diversi tipi di funzioni, le funzioni razionali e le funzioni trigonometriche.
Asintoti verticali nelle funzioni razionali
Se la vostra funzione è razionale, cioè se f(x) ha la forma di una frazione, f(x) = p(x) / q(x), in cui sia p(x) che q(x) sono polinomi, allora seguiamo questi due passi:
1. Fattorizzare sia il numeratore (in alto) che il denominatore (in basso). Questo è molto importante perché se qualche fattore finisce per annullarsi, allora non contribuirebbe a nessun asintoto verticale.
2. Una volta che la tua funzione razionale è completamente ridotta, guarda i fattori nel denominatore. Se c’è un fattore che coinvolge (x – a), allora x = a è un VA. Se c’è un fattore che coinvolge (x + a), allora x = -a è un VA. Nota come il segno sembra essere opposto entrambe le volte (proprio come risolvere un polinomio fattorizzato che è stato posto uguale a zero).
Pratica di trovare gli asintoti verticali
Vediamo come funziona il nostro metodo. Trova l’asintoto(i) verticale(i) di ogni funzione.
Soluzioni:
(a) Primo fattore e annulla.
Siccome il fattore x – 5 si annulla, non contribuisce alla risposta finale. Solo x + 5 è rimasto in basso, il che significa che c’è un solo VA a x = -5.
(b) Questa volta non ci sono annullamenti dopo la fattorizzazione.
Troviamo due asintoti verticali, x = 0 e x = -2.
Asintoti verticali per funzioni trigonometriche
Il metodo della fattorizzazione vale solo per le funzioni razionali. Tuttavia, molti altri tipi di funzioni hanno asintoti verticali. Forse gli esempi più importanti sono le funzioni trigonometriche. Delle sei funzioni trigonometriche standard, quattro di esse hanno asintoti verticali: tan x, cot x, sec x e csc x. Infatti, ognuna di queste quattro funzioni ne ha un numero infinito!
Per esempio, f(x) = cot x ha un VA ad ogni multiplo intero di π. In altre parole, x = n π è un VA per ogni n = 0, ±1, ±2, ±3, …
Utilizzare la calcolatrice
Funzioni più generali possono essere più difficili da risolvere. Se state lavorando su una sezione dell’esame che permette una calcolatrice grafica, allora potete semplicemente tracciare il grafico della funzione e cercare di individuare le interruzioni nel grafico in cui i valori delle y diventano slegati. Alcune calcolatrici, come la TI-84, hanno anche un’opzione chiamata “detect asymptotes”, che graficherà automaticamente le VA. Fai solo attenzione, però; se la tua finestra di visualizzazione è troppo piccola, potresti perdere un VA.
Conclusione
Gli asintoti sono solo alcune linee che ci parlano del comportamento delle funzioni. Un asintoto verticale mostra dove la funzione ha un limite infinito (valori y illimitati). È importante essere in grado di individuare gli AV su un dato grafico così come trovarli analiticamente dall’equazione della funzione. Anche la tua calcolatrice grafica può aiutare. Con un po’ di tempo e pratica, queste tecniche possono essere facilmente padroneggiate, e quindi gli asintoti verticali non devono essere il “muro di mattoni” che ti impedisce di andare lontano nell’esame AP Calculus!
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