Equazione di Darcy-Weisbach

Figura 1. Il fattore di attrito Darcy rispetto al numero di Reynolds per 10 < Re < 108 per tubi lisci e una gamma di valori di rugosità relativa ε/D. I dati sono tratti da Nikuradse (1932, 1933), Colebrook (1939), e McKeon (2004).

Il fattore di attrito fD non è una costante: dipende da cose come le caratteristiche del tubo (diametro D e altezza di rugosità ε), le caratteristiche del fluido (la sua viscosità cinematica ν ), e la velocità del flusso del fluido ⟨v⟩. È stato misurato con grande precisione in certi regimi di flusso e può essere valutato con l’uso di varie relazioni empiriche, o può essere letto da tabelle pubblicate. Questi grafici sono spesso chiamati diagrammi Moody, dal nome di L. F. Moody, e quindi il fattore stesso è talvolta erroneamente chiamato fattore di attrito Moody. A volte è anche chiamato fattore di attrito Blasius, dopo la formula approssimativa da lui proposta.

La figura 1 mostra il valore di fD come misurato dagli sperimentatori per molti fluidi diversi, su una vasta gamma di numeri di Reynolds, e per tubi di varie altezze di rugosità. Ci sono tre ampi regimi di flusso del fluido che si incontrano in questi dati: laminare, critico e turbolento.

Regime laminareModifica

Per i flussi laminari (lisci), è una conseguenza della legge di Poiseuille (che deriva da una soluzione classica esatta per il flusso fluido) che

f D = 64 R e , {displaystyle f_{\mathrm {D} }={frac {64}{mathrm {Re}

dove Re è il numero di Reynolds

R e = ρ μ ⟨ v ⟩ D = ⟨ v ⟩ D ν , {displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho }{\mu }} vlangle v\rangle D={frac {\langle v\rangle D}{\nu },

e dove μ è la viscosità del fluido e

ν = μ ρ {displaystyle \nu ={frac {\mu }{\rho }}

è conosciuta come la viscosità cinematica. In questa espressione per il numero di Reynolds, la lunghezza caratteristica D è presa per essere il diametro idraulico del tubo, che, per un tubo cilindrico che scorre pieno, è uguale al diametro interno. Nelle figure 1 e 2 del fattore di attrito contro il numero di Reynolds, il regime Re < 2000 dimostra il flusso laminare; il fattore di attrito è ben rappresentato dall’equazione di cui sopra.

In effetti, la perdita di attrito nel regime laminare è più accuratamente caratterizzata come proporzionale alla velocità del flusso, piuttosto che proporzionale al quadrato di quella velocità: si potrebbe considerare l’equazione di Darcy-Weisbach come non veramente applicabile nel regime di flusso laminare.

Nel flusso laminare, la perdita di attrito deriva dal trasferimento della quantità di moto dal fluido nel centro del flusso alla parete del tubo attraverso la viscosità del fluido; non ci sono vortici nel flusso. Si noti che la perdita di attrito è insensibile all’altezza di rugosità del tubo ε: la velocità del flusso nelle vicinanze della parete del tubo è zero.

Regime criticoEdit

Per numeri di Reynolds nell’intervallo 2000 < Re < 4000, il flusso è instabile (varia grossolanamente nel tempo) e varia da una sezione all’altra del tubo (non è “completamente sviluppato”). Il flusso comporta la formazione incipiente di vortici; non è ben compreso.

Regime turbolentoEdit

Figura 2. Il fattore di attrito Darcy rispetto al numero di Reynolds per 1000 < Re < 108 per tubi lisci e una gamma di valori di rugosità relativa ε/D. I dati sono tratti da Nikuradse (1932, 1933), Colebrook (1939), e McKeon (2004).

Per un numero di Reynolds maggiore di 4000, il flusso è turbolento; la resistenza al flusso segue l’equazione di Darcy-Weisbach: è proporzionale al quadrato della velocità media del flusso. Su un dominio di molti ordini di grandezza di Re (4000 < Re < 108), il fattore di attrito varia meno di un ordine di grandezza (0,006 < fD < 0,06). All’interno del regime di flusso turbolento, la natura del flusso può essere ulteriormente suddivisa in un regime in cui la parete del tubo è effettivamente liscia, e uno in cui la sua altezza di rugosità è saliente.

Regime del tubo liscioModifica

Quando la superficie del tubo è liscia (la curva del “tubo liscio” in Figura 2), la variazione del fattore di attrito con Re può essere modellata dall’equazione di resistenza di Kármán-Prandtl per il flusso turbolento in tubi lisci con i parametri opportunamente regolati

1 f D = 1.930 log ( R e f D ) – 0.537. {displaystyle {frac {1}{sqrt {f_{mathrm {D} }}}}=1,930\log \left(\mathrm {Re} {sqrt {f_{{\mathrm {D}}}right)-0,537.}

I numeri 1.930 e 0.537 sono fenomenologici; questi valori specifici forniscono un adattamento abbastanza buono ai dati. Il prodotto Re√fD (chiamato “numero di Reynolds di attrito”) può essere considerato, come il numero di Reynolds, un parametro (adimensionale) del flusso: a valori fissi di Re√fD, anche il fattore di attrito è fisso.

Nell’equazione di resistenza di Kármán-Prandtl, fD può essere espresso in forma chiusa come funzione analitica di Re attraverso l’uso della funzione W di Lambert:

1 f D = 1.930 ln ( 10 ) W ( 10 – 0.537 1.930 ln ( 10 ) 1.930 R e ) = 0.838 W ( 0.629 R e ) {displaystyle {frac {1}{sqrt {f_{mathrm {D} }}}}={frac {1,930}{ln(10)}}W\frac(10^{frac {-0,537}{1,930}}{frac {ln(10)}{1,930}{mathrm {Re} \destra)=0,838\ W(0,629\ \mathrm {Re} )}

In questo regime di flusso, molti piccoli vortici sono responsabili del trasferimento di quantità di moto tra la massa del fluido e la parete del tubo. All’aumentare del numero di Reynolds dell’attrito Re√fD, il profilo della velocità del fluido si avvicina asintoticamente alla parete, trasferendo così più quantità di moto alla parete del tubo, come modellato nella teoria dello strato limite di Blasius.

Regime del tubo ruvidoModifica

Quando l’altezza di rugosità ε della superficie del tubo è significativa (tipicamente ad alto numero di Reynolds), il fattore di attrito si allontana dalla curva del tubo liscio, avvicinandosi infine ad un valore asintotico (regime del “tubo ruvido”). In questo regime, la resistenza al flusso varia secondo il quadrato della velocità media del flusso ed è insensibile al numero di Reynolds. Qui, è utile impiegare un altro parametro adimensionale del flusso, il numero di Reynolds della rugosità

R ∗ = 1 8 ( R e f D ) ε D {displaystyle R_{*}={frac {1}{sqrt {8}} a sinistra(\mathrm {Re} {sqrt {f_{\mathrm {D}},\destra){\frac {\varepsilon }{D}}

dove l’altezza di rugosità ε è scalata al diametro del tubo D.

Figura 3. Funzione di rugosità B contro il numero di Reynolds di attrito R∗. I dati cadono su un’unica traiettoria quando sono tracciati in questo modo. Il regime R∗ < 1 è effettivamente quello del flusso del tubo liscio. Per grandi R∗, la funzione di rugosità B si avvicina ad un valore costante. Le funzioni fenomenologiche che tentano di adattarsi a questi dati, tra cui la Afzal e la Colebrook-White sono mostrate.

È illustrativo tracciare la funzione di rugosità B:

B ( R ∗ ) = 1 1,930 f D + log ( 1,90 8 ⋅ ε D ) {displaystyle B(R_{*})={frac {1}{1,930{sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}+log \sinistra({frac {1,90}{sqrt {8}}}cdot {frac {{varepsilon }{D}}destra)}

La figura 3 mostra B contro R∗ per i dati del tubo ruvido di Nikuradse, Shockling e Langelandsvik.

In questa vista, i dati a diversi rapporti di rugosità ε/D cadono insieme quando sono tracciati contro R∗, dimostrando la scalabilità della variabile R∗. Sono presenti le seguenti caratteristiche:

Quando ε = 0, allora R∗ è identicamente zero: il flusso è sempre nel regime del tubo liscio. I dati per questi punti si trovano all’estremo sinistro dell’ascissa e non sono all’interno della cornice del grafico.
Quando R∗ < 5, i dati si trovano sulla linea B(R∗) = R∗; il flusso è in regime di tubo liscio.
Quando R∗ > 100, i dati si avvicinano asintoticamente ad una linea orizzontale; sono indipendenti da Re, fD, e ε/D.
L’intervallo intermedio di 5 < R∗ < 100 costituisce una transizione da un comportamento all’altro. I dati si allontanano dalla linea B(R∗) = R∗ molto lentamente, raggiungono un massimo vicino a R∗ = 10, poi cadono ad un valore costante.

Un adattamento a questi dati nella transizione dal flusso del tubo liscio al flusso del tubo ruvido impiega un’espressione esponenziale in R∗ che assicura un comportamento corretto per 1 < R∗ < 50 (la transizione dal regime del tubo liscio al regime del tubo ruvido):

1 f D = – 1.930 log ( 1.90 R e f D ( 1 + 0.34 R ∗ exp – 11 R ∗ ) ) , {displaystyle {frac {1}{sqrt {f_{mathrm {D} }}}}=-1,930\log \left({frac {1,90}{mathrm {Re} {sqrt {f_{mathrm {D} }}}}}\left(1+0.34R_{*}exp {\frac {-11}{R_{*}}} a destra),}

Questa funzione condivide gli stessi valori per il suo termine in comune con l’equazione di resistenza di Kármán-Prandtl, più un parametro 0.34 per adattare il comportamento asintotico per R∗ → ∞ insieme ad un ulteriore parametro, 11, per governare la transizione dal flusso liscio a quello ruvido. E’ mostrato nella Figura 3.

La relazione Colebrook-White si adatta al fattore di attrito con una funzione della forma

1 f D = – 2.00 log ( 2.51 R e f D ( 1 + R ∗ 3.3 ) ) . {displaystyle {frac {1}{sqrt {f_{mathrm {D} }}}}=-2.00\log \left({frac {2.51}{mathrm {Re} {sqrt {f_{mathrm {D} }}}}}\left(1+{\frac {R_{*}}{3.3}}\right)\right).}

Questa relazione ha il comportamento corretto a valori estremi di R∗, come mostrato dalla curva etichettata in Figura 3: quando R∗ è piccola, è coerente con il flusso di tubi lisci, quando è grande, è coerente con il flusso di tubi ruvidi. Tuttavia le sue prestazioni nel dominio di transizione sovrastimano il fattore di attrito di un margine sostanziale. Colebrook riconosce la discrepanza con i dati di Nikuradze, ma sostiene che la sua relazione è coerente con le misure su tubi commerciali. Infatti, tali tubi sono molto diversi da quelli accuratamente preparati da Nikuradse: le loro superfici sono caratterizzate da molte diverse altezze di rugosità e da una distribuzione spaziale casuale dei punti di rugosità, mentre quelli di Nikuradse hanno superfici con altezza di rugosità uniforme, con i punti estremamente ravvicinati.

Calcolare il fattore di attrito dalla sua parametrizzazioneModifica

Vedi anche: Formule del fattore di attrito Darcy

Per i flussi turbolenti, i metodi per trovare il fattore di attrito fD includono l’uso di un diagramma, come il grafico di Moody, o la risoluzione di equazioni come l’equazione Colebrook-White (su cui si basa il grafico di Moody), o l’equazione Swamee-Jain. Mentre la relazione Colebrook-White è, nel caso generale, un metodo iterativo, l’equazione Swamee-Jain permette di trovare direttamente fD per un flusso completo in un tubo circolare.

Calcolo diretto quando la perdita di attrito S è notaModifica

Nelle tipiche applicazioni ingegneristiche, ci sarà un insieme di quantità date o note. L’accelerazione di gravità g e la viscosità cinematica del fluido ν sono note, così come il diametro del tubo D e la sua altezza di rugosità ε. Se anche la perdita di carico per unità di lunghezza S è una quantità nota, allora il fattore di attrito fD può essere calcolato direttamente dalla funzione di adattamento scelta. Risolvendo l’equazione di Darcy-Weisbach per √fD,

f D = 2 g S D ⟨ v ⟩ {displaystyle {sqrt {f_{mathrm {D} {\a6}={frac {2gSD}{langolo v\a6}{frac {2gSD}{2gSD}{2gSD}{2gSD}{2gSD}{2gSD}{2gSD}{2gSD

possiamo ora esprimere Re√fD:

R e f D = 1 ν 2 g S D 3 {displaystyle \mathrm {Re} {sqrt {f_{mathrm {D} ={frac {1}{nu}}{sqrt {2g}{sqrt {S}{sqrt {D^{3}}}}

Esprimendo il numero di Reynolds di rugosità R∗,

R ∗ = ε D ⋅ R e f D ⋅ 1 8 = 1 2 g ν ε S D {displaystyle {begin{aligned}R_{*}&={\frac {\varepsilon }{D}}cdot \mathrm {Re} {sqrt {f_{mathrm {D}

=&&={{frac {1}{2}}{frac {sqrt {g}{{nu }}\varepsilon {sqrt {S}{sqrt {D}}end{aligned}}}

abbiamo i due parametri necessari per sostituire nella relazione Colebrook-White, o qualsiasi altra funzione, per il fattore di attrito fD, la velocità di flusso ⟨v⟩, e la portata volumetrica Q.

Confusione con il fattore di attrito di Fanning

Il fattore di attrito Darcy-Weisbach fD è 4 volte più grande del fattore di attrito Fanning f, quindi è necessario prestare attenzione a quale di questi si intende in qualsiasi grafico o equazione “fattore di attrito” utilizzato. Dei due, il fattore Darcy-Weisbach fD è più comunemente usato dagli ingegneri civili e meccanici, e il fattore Fanning f dagli ingegneri chimici, ma bisogna fare attenzione ad identificare il fattore corretto indipendentemente dalla fonte del grafico o della formula.

Nota che

Δ p = f D ⋅ L D ⋅ ρ ⟨ v ⟩ 2 2 = f ⋅ L D ⋅ 2 ρ ⟨ v ⟩ 2 {\displaystyle \Delta p=f_{mathrm {D} {\frac {L}{D}{D}{2}=f_frac {L}{D}{2}{2}{2}=f_frac {L}{D}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}

La maggior parte dei grafici o delle tabelle indicano il tipo di fattore di attrito, o almeno forniscono la formula per il fattore di attrito con flusso laminare. Se la formula per il flusso laminare è f = 16/Re, è il fattore Fanning f, e se la formula per il flusso laminare è fD = 64/Re, è il fattore Darcy-Weisbach fD.

Quale fattore di attrito è tracciato in un diagramma di Moody può essere determinato dall’ispezione se l’editore non ha incluso la formula descritta sopra:

Osserva il valore del fattore di attrito per il flusso laminare a un numero di Reynolds di 1000.
Se il valore del fattore di attrito è 0,064, allora il fattore di attrito Darcy è tracciato nel diagramma di Moody. Si noti che le cifre non zero in 0,064 sono il numeratore nella formula per il fattore di attrito Darcy laminare: fD = 64/Re.
Se il valore del fattore di attrito è 0,016, allora il fattore di attrito Fanning è tracciato nel diagramma Moody. Si noti che le cifre non zero in 0,016 sono il numeratore nella formula per il fattore di attrito laminare Fanning: f = 16/Re.

La procedura di cui sopra è simile per qualsiasi numero di Reynolds disponibile che è una potenza intera di dieci. Non è necessario ricordare il valore 1000 per questa procedura, solo che una potenza intera di dieci è di interesse per questo scopo.