Geometria euclidea

Fondamenti

Euclide si rese conto che uno sviluppo rigoroso della geometria doveva iniziare dai fondamenti. Perciò iniziò gli Elementi con alcuni termini indefiniti, come “un punto è ciò che non ha parte” e “una linea è una lunghezza senza larghezza”. Procedendo da questi termini, definì altre idee come angoli, cerchi, triangoli e vari altri poligoni e figure. Per esempio, un angolo era definito come l’inclinazione di due linee rette, e un cerchio era una figura piana costituita da tutti i punti che hanno una distanza fissa (raggio) da un dato centro.

Come base per ulteriori deduzioni logiche, Euclide propose cinque nozioni comuni, come “le cose uguali alla stessa cosa sono uguali”, e cinque principi indimostrabili ma intuitivi conosciuti come postulati o assiomi. Detti in termini moderni, gli assiomi sono i seguenti:

• 1. Dati due punti, esiste una linea retta che li unisce.
• 2. Un segmento di linea retta può essere prolungato indefinitamente.
• 3. Un cerchio può essere costruito quando sono dati un punto per il suo centro e una distanza per il suo raggio.
• 4. Tutti gli angoli retti sono uguali.
• 5. Se una retta che cade su due rette rende gli angoli interni dello stesso lato minori di due angoli retti, le due rette, se prodotte indefinitamente, si incontreranno su quel lato in cui gli angoli sono minori dei due angoli retti.

Hilbert ha raffinato gli assiomi (1) e (5) come segue:

• 1. Per qualsiasi due punti diversi, (a) esiste una retta contenente questi due punti, e (b) questa retta è unica.
• 5. Per qualsiasi linea L e punto p non su L, (a) esiste una linea attraverso p che non incontra L, e (b) questa linea è unica.

Il quinto assioma è diventato noto come il “postulato delle parallele”, poiché ha fornito una base per l’unicità delle linee parallele. (Ha anche attirato grande interesse perché sembrava meno intuitivo o evidente degli altri. Nel XIX secolo, Carl Friedrich Gauss, János Bolyai e Nikolay Lobachevsky iniziarono a sperimentare questo postulato, arrivando alla fine a nuove geometrie non euclidee). Tutti e cinque gli assiomi fornirono la base per numerose affermazioni dimostrabili, o teoremi, su cui Euclide costruì la sua geometria. Il resto di questo articolo spiega brevemente i teoremi più importanti della geometria piana e solida euclidea.