La costante newtoniana di gravitazione – una costante troppo difficile da misurare? Un’introduzione

È generalmente accettato che la grandezza della forza che attrae due corpi sferici di massa M1 e M2, separati da una distanza r, è data dalla legge di gravitazione di Newton

La costante, G, determina la forza della legge dell’inverso del quadrato di Newton in un particolare sistema di unità fisiche ed è, non a caso, conosciuta come la costante di gravitazione di Newton. È considerata una costante fondamentale della natura. L’attuale valore di G nei valori raccomandati dal CODATA 2010 delle costanti fisiche fondamentali è la migliore stima data dai risultati sperimentali disponibili in quel momento ed è G=6.67384(80)×10-11 kg-1 m3 s-2. Lo scarto attuale dei valori si avvicina allo 0,05% (o 500 parti per milione) che è più di 10 volte le incertezze su ogni misura, e sembra quindi che conosciamo G solo con tre cifre significative! Questo è molto povero rispetto ad altre costanti fisiche, molte delle quali hanno incertezze dell’ordine di parti su 108 e la costante che determina la struttura elettronica degli atomi, la Rydberg, ha un’incertezza di solo quattro parti su 1012.

Perché G è così mal conosciuto, perché gli esperimenti recenti hanno dato risultati così diversi e come dovremmo procedere ora per risolvere il problema? Queste sono state le domande affrontate nell’incontro tenutosi il 27 e 28 febbraio 2014 di cui gli articoli in questo numero delle Philosophical Transactions A sono gli atti.

Attualmente, la gravità ha un posto speciale nella fisica perché è l’unica interazione che non può essere descritta da una teoria quantistica. La legge di Newton è vista come un’approssimazione della relatività generale di Einstein, ed entrambe le teorie considerano lo spazio e il tempo come quantità classiche continue, mentre le teorie che descrivono l’elettromagnetismo e le forze nucleari sono basate su quanti conservati. La gravità è anche di gran lunga la forza più debole. Una conseguenza diretta di ciò è che l’energia alla quale tutte le forze hanno una forza comparabile è vicina alla cosiddetta scala di Planck, che è circa 15 ordini di grandezza più alta delle energie attualmente esplorate dal Large Hadron Collider. Questo fatto mette in discussione la validità del modello standard della fisica delle particelle, poiché si pensa che questa teoria non possa essere stabile in presenza di una scala di energia fondamentale così immensa. D’altra parte, la nostra fiducia nella gravità newtoniana ed einsteiniana deriva da esperimenti accuratamente controllati. L’universalità della caduta libera è un fondamento empirico della teoria della gravità di Einstein e afferma che l’accelerazione libera della materia in un campo gravitazionale non dipende dalla sua composizione chimica. Le prove di laboratorio dell’universalità della caduta libera e della legge dell’inverso del quadrato di Newton sulla scala di meno di 1 m usano gli stessi dispositivi di misurazione e le stesse tecniche usate nelle determinazioni di G, come descriviamo più avanti. Tuttavia, al fine di eseguire le prove più sensibili e di alleggerire il peso della metrologia, questi esperimenti sono abilmente progettati per dare un segnale sostanziale solo se la natura si comporta male nel modo cercato dagli sperimentatori. Nelle determinazioni di G, dobbiamo effettivamente misurare tutte le quantità rilevanti in unità fisiche e attaccare la metrologia a testa bassa.

Il valore numerico effettivo di G ha poca importanza in fisica: le orbite dei pianeti nel nostro sistema solare sono note per seguire accuratamente la legge di Newton. Per esempio, l’accelerazione orbitale di un pianeta intorno al Sole è determinata con grande precisione dal prodotto della massa del Sole e di G. Così, trovare un nuovo valore di G che è più grande, diciamo, dello 0,05% di quello dato nei libri di testo riduce semplicemente la nostra stima della massa del Sole di questa quantità. Al momento, non abbiamo modelli per la struttura del Sole che vincolino utilmente la sua massa a questo livello.

Aggiungi alla mistica il fatto che la gravità è la forza che ci è più familiare come persone che vivono sulla Terra. Non è sorprendente che le notizie sui media di discrepanze significative tra le determinazioni sperimentali del valore della costante di gravità di Newton possano catturare l’immaginazione del pubblico, come ha fatto la pubblicazione del nostro risultato nell’ottobre 2013.

Quello che conta allora non è il valore effettivo di G (più o meno una percentuale) ma la sua incertezza. La vera importanza della precisione di G è probabilmente che può essere presa come una misura, nella cultura popolare, di quanto bene comprendiamo la nostra forza più familiare: i risultati discrepanti possono significare qualche nuova fisica, o possono dimostrare che non capiamo la metrologia della misurazione delle forze deboli. A causa della mancanza di comprensione teorica della gravità, come accennato prima, c’è un’abbondanza di teorie rispettabili che prevedono violazioni della legge dell’inverso del quadrato o violazioni dell’universalità della caduta libera. In effetti, un’opinione crescente è che G non è veramente universale e può dipendere dalla densità della materia su scale astrofisiche, per esempio. Un fraintendimento della metrologia della fisica della forza debole può a sua volta implicare che i test sperimentali che hanno stabilito la legge dell’inverso del quadrato e l’universalità della caduta libera finora sono imperfetti in qualche modo sottile. Questo crea una situazione potenzialmente eccitante e forse spiega l’interesse generale mostrato per il nostro lavoro apparentemente banale e minuzioso su G.

All’epoca di Newton e fino al diciannovesimo secolo, il concetto di una costante fondamentale non esisteva. Newton non espresse la sua legge di gravitazione in modo da includere esplicitamente una costante G, la sua presenza era implicita come se avesse un valore uguale a 1. Fu solo nel 1873 che Cornu e Bailey introdussero esplicitamente un simbolo per la costante di accoppiamento nella legge di gravità di Newton, infatti la chiamarono f. Non prese la sua denominazione attuale G fino a qualche tempo dopo il 1890.

Lo sviluppo del concetto di costanti fondamentali fu intimamente legato allo sviluppo dei sistemi di unità fisiche. Il sistema internazionale di unità (SI) sarà basato, a partire dal 2018, su valori numerici fissi di sette costanti fondamentali, tra cui la velocità della luce e la costante di Planck, quest’ultima è la costante che compare nella nuova definizione del chilogrammo. Non potremmo definire il chilogrammo in termini di G? Per esempio, il chilogrammo è l’unità di massa, la sua grandezza è fissata fissando il valore numerico di G pari a 6,67384…×10-11 kg-1 m3 s-2esattamente. In linea di principio, potremmo farlo, ma il problema sarebbe che qualsiasi misura pratica della massa di un oggetto in termini della sua attrazione gravitazionale verso un altro avrebbe una precisione di poche parti su 104. Questo è circa quattro ordini di grandezza lontano dalla precisione di cui abbiamo veramente bisogno nei nostri standard di massa. Perché questo? La risposta principale è semplicemente che la gravità è troppo debole sulla scala delle masse di laboratorio per essere misurabile con la precisione richiesta. La forza gravitazionale tra una coppia di sfere di rame da 1 kg che si toccano appena è circa un millesimo del peso di ciascuna, cioè circa 10-8 N. Per misurare questa forza, bisogna trovare un modo per annullare la schiacciante forza di gravità verso il basso che agisce su entrambe le sfere.

Una soluzione quasi perfetta fu trovata verso la fine del XVIII secolo dal reverendo John Michell, che inventò la bilancia a torsione. Bilanciando due sfere sospese appese all’estremità del braccio della bilancia a torsione (che ora chiamiamo masse di prova) da un lungo e sottile filo di torsione di rame, si rese conto che la forza di gravità verso il basso viene neutralizzata, lasciando le sfere sospese sensibili a una forza gravitazionale laterale prodotta da due sfere molto più grandi (le masse sorgente) che possono essere spostate per produrre una rotazione positiva e negativa della bilancia. La costante di coppia, c, del filo può essere trovata misurando il periodo libero di oscillazione (2π/ω) del gruppo di torsione e usando la semplice relazione c=Iω2, dove I è il momento di inerzia intorno all’asse verticale rappresentato dal filo di torsione. L’apparato è stato messo in uso da Henry Cavendish dopo la morte di Michell per misurare G. La sua pubblicazione nel 1798 descrive in dettaglio squisito, probabilmente, il primo esperimento di precisione in fisica e la bilancia di torsione ‘Cavendish’ è stato uno dei pezzi più significativi di apparato fisico mai inventato. In una raccolta di lavori pubblicati sulla misurazione della costante gravitazionale, Gillies ha elencato circa 350 articoli, quasi tutti riferiti al lavoro svolto con una bilancia a torsione. Tra la dozzina di esperimenti effettuati negli ultimi 30 anni, tutti tranne due o tre sono stati fatti con bilance a torsione. Sono stati protetti non da scatole di legno come nel caso di Cavendish, ma da camere a vuoto, ma il principio di base per separare la forza gravitazionale minuta dalla forza di gravità verso il basso è stato quello inventato da Michell.

Gli articoli in questo numero dimostrano moderne bilance a torsione e anche nuovi metodi di misurazione G non basati sulla bilancia a torsione. Comune a tutti loro è l’esigenza di fare misure accurate di massa, lunghezza e tempo (l’unità di G è kg-1 m3 s-2) e spesso anche l’angolo, la cui unità di misura è ovviamente di dimensione 1. La chiave di tutto il lavoro è la valutazione dell’incertezza e nella maggior parte dei documenti questa occupa un posto significativo. Allo stesso modo, nella valutazione dei risultati che portano ad una stima del valore migliore, lo studio comparativo delle incertezze è il compito centrale del Task Group CODATA sulle Costanti Fondamentali.

Il risultato della discussione dopo la presentazione dei documenti al meeting della Royal Society era abbastanza chiaro ed è riportato alla fine di questo numero. Era chiaro che solo una o due ulteriori determinazioni di G fatte da gruppi individuali non avrebbero risolto la questione. Invece, è stato richiesto uno sforzo internazionale coordinato in cui un piccolo numero di esperimenti sarebbe stato effettuato, ognuno dei quali sarebbe stato seguito in grande dettaglio da un comitato consultivo internazionale composto da coloro che avevano già esperienza di tale lavoro.

Footnotes

†Direttore emerito BIPM.

Un contributo di 13 a un Theo Murphy Meeting Issue ‘The Newtonian constant of gravitation, a constant too difficult to measure?’