Primo di Mersenne

Un primo di Mersenne è un numero primo che può essere scritto nella forma 2n-12^{n}-12n-1. Per esempio 313131 è un primo di Mersenne che può essere scritto come 25-12^{5}-125-1. I primi di Mersenne sono 3,7,31,127,81913, 7, 31, 127, 81913,7,31,127,8191. Ci sono 50 primati di Mersenne conosciuti a giugno 2018, anche se speriamo che cambi in futuro. Una cosa interessante dei numeri primi di Mersenne è che sono i numeri naturali più facili da dimostrare come primi, quindi costituiscono la categoria più grande nella lista dei numeri primi conosciuti.

La ricerca e la curiosità per i numeri primi di Mersenne è nata dallo studio dei numeri perfetti. Un numero perfetto è un numero che può essere scritto come la somma dei suoi divisori propri positivi. Per esempio, 666 è un numero perfetto perché può essere scritto come 6=1+2+36=1+2+36=1+2+3, e infatti è il più piccolo numero perfetto. Il prossimo numero perfetto è 28=1+2+4+7+1428=1+2+4+7+1428=1+2+4+7+14.

Si può dimostrare che se un intero positivo aaa può essere scritto nella forma 2n-1(2n-1)2^{n-1}(2^{n}-1)2n-1(2n-1), tale che 2n-12^{n}-12n-1 è un numero primo, allora aaa deve essere un numero perfetto pari. Abbiamo visto che se 2n-12^{n}-12n-1 è un numero primo, allora è un primo di Mersenne, il che crea una corrispondenza uno a uno tra i primi di Mersenne e i numeri perfetti pari. Cioè, ogni primo di Mersenne corrisponde esattamente a un numero perfetto pari! (Finora nessun numero perfetto dispari è stato trovato.)

Provare che se 2n-12^{n}-12n-1 è primo, allora anche nnn deve essere primo.

Sia ppp e qqq interi positivi maggiori di uno tali che n=p⋅qn=p\cdot qn=p⋅q. Allora usando l’identità di fattorizzazione,

2pq-1=(2p-1)⋅(1+2p+22p+23p+⋯+2p(q-1)).{ 2 }^{ pq }-1=\sinistra( { 2 }^{ p }-1 \destra) \cdot \sinistra( 1+{ 2 }^{ p }+{ 2 }^{ 2p }+{ 2 }^{ 3p }+\cdots+{ 2 }^{ p(q-1) } \dritto). 2pq−1=(2p−1)⋅(1+2p+22p+23p+⋯+2p(q−1)).

Quindi se nnn è composto e WLOG 1<p<q1<p<q1<p<q, allora abbiamo che il termine 2n-12^{n}-12n-1 è composto perché è divisibile per il termine 2p-12^{p}-12p-1. □_\square□

La dimostrazione ci dice che se 2n-12^{n}-12n-1 è primo, allora anche nnn è primo. Ma non garantisce che se nnn è primo, allora 2n-12^{n}-12n-1 è primo, poiché non abbiamo considerato il secondo termine nell’equazione precedente. Un tipico esempio di questo è 11:11:11: anche se è un numero primo, 211-1=20472^{11}-1=2047211-1=2047 non è un numero primo.