Risolvere le equazioni esponenziali con i logaritmi
Dalla definizioneCon i logaritmiCon le calcolatrici
Purplemath
La maggior parte delle equazioni esponenziali non si risolvono ordinatamente; non ci sarà modo di convertire le basi per essere uguali, come la conversione di 4 e 8 in potenze di 2. Nel risolvere queste equazioni più complicate, dovrai usare i logaritmi.
Prendere i logaritmi ci permetterà di sfruttare la regola del log che dice che le potenze all’interno di un log possono essere spostate davanti come moltiplicatori. Prendendo il log di un esponenziale, possiamo quindi spostare la variabile (essendo nell’esponente che ora è dentro un log) davanti, come moltiplicatore sul log. In altre parole, la regola del log ci permetterà di spostare la variabile in basso, dove possiamo metterci le mani.
Per esempio:
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Solvere 2x = 30
Se questa equazione mi avesse chiesto di “Risolvere 2x = 32”, allora trovare la soluzione sarebbe stato facile, perché avrei potuto convertire il 32 in 25, impostare gli esponenti uguali, e risolvere per “x = 5”. Ma, a differenza di 32, 30 non è una potenza di 2, quindi non posso impostare potenze uguali tra loro. Ho bisogno di qualche altro metodo per arrivare alla x, perché non posso risolvere con l’equazione con la variabile che galleggia lassù sopra il 2; ho bisogno che torni a terra dove appartiene, dove posso arrivarci. E dovrò usare i logaritmi per portare quella variabile in basso.
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Quando si tratta di equazioni, posso fare quello che voglio all’equazione, purché faccia la stessa cosa a entrambi i lati. E, per risolvere un’equazione, devo ottenere la variabile da sola su un lato del segno “uguale”; per isolare la variabile, devo “annullare” qualsiasi cosa sia stata fatta alla variabile.
In questo caso, la variabile x è stata messa nell’esponente. L’inverso (tecnicamente, l'”inverso”) degli esponenziali sono i logaritmi, quindi dovrò annullare l’esponente prendendo il log di entrambi i lati dell’equazione. Questo mi è utile per la regola del log che dice che gli esponenti all’interno di un log possono essere trasformati in moltiplicatori davanti al log:
logb(mn) = n – logb(m)
Quando prendo il log di entrambi i lati di un’equazione, posso usare qualsiasi log mi piaccia (log in base 10, log in base 2, log naturale, etc), ma alcuni sono talvolta più utili di altri. Poiché la base dell’equazione “2x = 30” è “2”, potrei provare a usare un log in base-2:
log2(2x) = log2(30)
Qualsiasi log della base del log restituisce un valore di 1, quindi log2(2) = 1. Quindi:
x – log2(2) = log2(30)
x(1) = log2(30)
x = log2(30)
Se ti viene chiesto di “trovare la soluzione”, allora quanto sopra dovrebbe essere una risposta accettabile. Tuttavia, questo valore, anche se “esatto”, non sarà molto utile per i problemi di parole (o nella “vita reale”) se hai bisogno di un’approssimazione numerica.
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Ma non possiamo valutare questa espressione nelle nostre calcolatrici così com’è. Per prima cosa, abbiamo bisogno di applicare la formula del cambio di base per convertire l’espressione in qualcosa in una base che le nostre calcolatrici possono capire, cioè il log naturale o il log comune. La conversione si presenta così:
x = log2(30)
Ricordo: Il “ln” è l’abbreviazione di “logarithmus naturalis”, la versione latina di quello che è diventato “natural log” in inglese. L’abbreviazione si pronuncia “ell-enn” e si scrive con una “L” minuscola seguita da una “N” minuscola. Non c’è nessuna “I” (“occhio”) nel nome della funzione!
Cosa sarebbe successo se avessi usato il log naturale, invece di un log in base due, all’inizio? Il processo sarebbe stato esattamente lo stesso, e la risposta finale sarebbe stata equivalente.
2x = 30
ln(2x) = ln(30)
x – ln(2) = ln(30)
In entrambi i casi, avrei ottenuto la stessa risposta, ma prendere il log naturale all’inizio era più semplice e breve.
Nota: avrei potuto usare il log comune (in base 10) invece del log naturale (cioè, in base-e) e ottenere lo stesso valore (se valutato nella calcolatrice).
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Visto che la scienza usa così tanto il log naturale, e poiché è uno dei due log che le calcolatrici possono valutare, tendo a prendere il log naturale di entrambi i lati quando risolvo equazioni esponenziali. Questo non è (generalmente) richiesto, ma è spesso più utile di altre opzioni.
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Solvere 5x = 212. Dai la tua risposta in forma esatta e come approssimazione decimale a tre cifre.
Siccome 212 non è una potenza di 5, allora dovrò usare i log per risolvere questa equazione. Potrei prendere il log in base 5 di ogni lato, risolvere e poi applicare la formula del cambiamento di base, ma penso che preferirei usare il log naturale in primo luogo:
5x = 212
ln(5x) = ln(212)
x – ln(5) = ln(212)
…o circa 3,328, arrotondato a tre cifre decimali.
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Solvere 102x = 52
Siccome 52 non è una potenza di 10, dovrò usare i log per risolvere questo. In questo caso particolare, dato che la base è 10 e dato che i log in base 10 possono essere fatti sulla calcolatrice, userò il log comune invece del log naturale per risolvere questa particolare equazione:
102x = 52
log(102x) = log(52)
2x – log(10) = log(52)
2x(1) = log(52)
2x = log(52)
…o circa 0,858, arrotondato a tre cifre decimali.
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3(2x+4) = 350
Prima di poter iniziare a guardare l’esponenziale, devo prima sbarazzarmi del 3, quindi lo dividerò per ottenere:
Siccome
non è una potenza di 2, dovrò usare i log. In questo caso userò il log naturale:
…o circa 2,866, arrotondato a tre cifre decimali.
Nota: Si potrebbe anche risolvere quanto sopra usando le regole degli esponenti per scomporre la potenza sul 2: