グラフから指数関数を求める – 指数関数

指数関数とは

指数関数の扱いや指数関数のグラフ化に入る前に、まずは指数関数の一般的な公式や理論を見てみましょう。

以下は、指数関数のグラフの最も一般的な形の1つです。

このグラフに対する指数関数の式はy=2xy=2^xy=2x, となり、最もシンプルな指数関数のグラフになります。 y=1xy=1^xy=1xがどのように見えるのか気になる方は、その指数関数グラフをご覧ください。

さて。 y=2xy=2^xy=2xとy=1xy=1^xy=1xのグラフがなぜこんなに違うのかということですが、指数関数の理論を理解するには、いくつかの表を見てみるのが一番です。

上の図は、1、2、3という3つの異なる「基本値」に対する3つの表です。 これらはすべて x の累乗です。 ご覧のように、「基本値」が 1 の指数関数では、1 の何乗も 1 であるため、y の値は 1 で一定です。これが、上記の y=1xy=1^xy=1x のグラフが単なる直線である理由です。 一方、y=2xy=2^xy=2xやy=3xy=3^xy=3x（写真なし）の場合は、グラフの曲線がどんどん急になっていきます。 これは、xが増加するにつれて、yの値が毎回どんどん大きな値に増加していく、いわゆる「指数関数的」に増加していくからです。

指数関数の一般的な公式を説明します。

y=abd(x-c)+ky=ab^{d(x-c)}+ky=abd(x-c)+k

上記の公式は、これまで扱ってきた関数よりも少し複雑なので、すべての変数を定義しましょう。

y – Y軸上の値

a – 垂直方向の伸縮係数

b – 基本値

x – X軸上の値

c – 水平方向の移動係数

d – 水平方向の伸縮係数

k – 垂直方向の移動係数

このレッスンでは、ごく限られた範囲でしか説明しません。 このレッスンでは、非常に基本的な指数関数についてのみ説明しますので、上記の変数のいくつかについては心配する必要はありません。 しかし、指数関数と指数関数のグラフの描き方について必要なすべての情報にアクセスできるように、これらの変数のそれぞれを変更すると指数方程式のグラフに何が起こるかを概説しましょう。

1) 変数 a

y=2xy=2^xy=2x のグラフを、a を変更した別の指数方程式と比較してみましょう。 y=(-4)2xy=(-)4)2^xy=(-4)2x

この変換を行うことで、「引き伸ばし」と「引き下げ」の両方を行うことができます。 この変換により、y=2xy=2^xy=2xの元のグラフをy値で「引き伸ばし」、「反射」したことになります。

2)変数 “b”

別名 “基本値 “とも呼ばれ、単純に指数の付いた数です。 これを求めるには、後述する代数学が必要です。

変数 “c”

y=2xy=2^xy=2xのグラフを、”c “を修正した別の指数方程式と比較してみましょう。 y=2(x-2)y=2^{(x-)2)}y=2(x-2)

この変換を行うことで、グラフ全体を この変換により、グラフ全体を右に2単位ずらしたことになります。 もし「c」が「-2」であれば、グラフ全体を左に2単位移動させたことになります。

変数 “d”

y=2xy=2^xy=2xのグラフを、”d “を修正した別の指数方程式と比較してみましょう。 y=24xy=2^{4x}y=24x

この変換を行うことで、元のグラフを伸ばすことができます。 この変換により、変数「a」がy値によって関数を修正するのと同様に、y=2xy=2^xy=2xの元のグラフをx値によって引き伸ばしています。 この例で「d」が負であれば、指数関数は、「a」で見られる垂直方向の反射ではなく、水平方向の反射を受けることになります。

変数 “k”

y=2xy=2^xy=2xのグラフを、”k “を変更した別の指数方程式と比較してみましょう。 y=2x+2y=2^x+2y=2x+2