ユークリッド幾何学

基礎

ユークリッドは、幾何学を厳密に発展させるには基礎から始めなければならないと考えた。 そこで彼は、「点とは部分のないもの」「線とは幅のない長さ」など、定義されていない言葉で『元素』を書き始めました。 そして、これらの言葉をもとに、角度、円、三角形など、さまざまな多角形や図形を定義していきました。

ユークリッドは、さらなる論理的推論の基礎として、「同じものに等しいものは等しい」といった5つの共通概念と、証明できないが直観的な5つの原理を提案し、さまざまな「定理」や「公理」と呼ばれています。

• 1.
• 1.二つの点があれば、それらを結ぶ直線がある。
• 2.直線のセグメントは無限に延長できる。 2本の直線上に落ちる直線が、同じ辺の内角を2つの直角より小さくする場合、2本の直線は、無限に作り出せば、角度が2つの直角より小さくなる辺で出会う。

ヒルベルトは公理(1)と(5)を次のように改良した。 任意の2つの異なる点について、(a)これら2つの点を含む線が存在し、(b)この線は一意である。

第5公理は、平行線の一意性の根拠となることから、「平行の公理」として知られるようになりました。

5番目の公理は、平行線の一意性の根拠となることから、「平行の公理」と呼ばれるようになりました。 19世紀に入ると、カール・フリードリヒ・ガウス、ヤーノシュ・ボリヤイ、ニコライ・ロバチェフスキーらがこの公理を使って実験を始め、最終的にはユークリッドではない新たな幾何学に到達した）。) この5つの公理は、ユークリッドが自分の幾何学を構築する上で、証明可能な数多くの記述、すなわち定理の基礎となった。 この記事の残りの部分では、ユークリッド平面および立体幾何学の最も重要な定理を簡単に説明します。