対数を使って指数方程式を解く
定義から対数を使って計算機を使って
Purplemath
ほとんどの指数方程式はきれいには解けません。 4と8を2の累乗に変換するように、基数を同じにするための変換方法がないからです。
対数をとることで、「対数内の累乗は乗数として前に出すことができる」という対数法則を利用することができます。 指数の対数を取ることで、変数(指数の中にあり、現在は対数の中にある)を、対数の乗数として前に移動させることができます。 言い換えれば、対数ルールは、変数を我々が手に入れられる場所に戻してくれます。
例えば、以下のようになります。
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Solve 2x = 30
もしこの式が「2x = 32を解け」と言われていたら、32を25に変換し、指数を等しくして「x = 5」を解けばいいので、解を見つけるのは簡単だったでしょう。 しかし、32と違って、30は2の累乗ではないので、累乗同士を等しくすることはできません。 変数が2の上に浮かんでいる状態の方程式では解けないので、xを求める別の方法が必要です。
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方程式を扱うとき、両辺に同じことをする限り、その方程式に好きなことをすることができます。
このケースでは、変数xは指数の中に置かれています。 指数の逆（厳密には「逆」）は対数なので、方程式の両辺の対数を取ることで指数を元に戻す必要があります。
logb(mn) = n – logb(m)
式の両辺の対数を取るとき、好きな対数 (base-10 log、base-2 log、自然対数など) を使うことができますが、あるものは他のものより便利な場合があります。
log2(2x) = log2(30)
対数の基数はいずれも 1 を返すので、log2(2) = 1 となります。
x – log2(2) = log2(30)
x(1) = log2(30)
x = log2(30)
「解を求めなさい」と言われたら、上記のような答えでも良いはずです。 しかし、この値は「正確」ではありますが、数値的な近似が必要な場合、言葉の問題（または「実生活」）ではあまり役に立たないでしょう。
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しかし、このままでは電卓でこの式を評価することはできません。 まず、基数変更の公式を適用して、この式を電卓が理解できる基数、つまり自然対数や共通対数に変換する必要があります。
x = log2(30)
覚えておいてください。 ln」は「logarithmus naturalis」の略語で、英語で「natural log」となったもののラテン語版です。 この略語は「ell-enn」と発音され、小文字の「L」の後に小文字の「N」をつけて書きます。 関数名に「I」（「eye」）はありません！
そもそも、ベースツーログの代わりに自然対数を使っていたらどうなっていたでしょうか。
2x = 30
ln(2x) = ln(30)
x – ln(2) = ln(30)
どちらにしても同じ答えが得られますが、最初に自然対数を取った方がシンプルで短い時間で済みました。
注意: 自然対数 (つまり基数e) の代わりに常用対数 (基数10) を使用することもできましたが、それでも (電卓で評価した場合) 同じ値が得られました。
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科学では自然対数がよく使われています。 自然対数は電卓で評価できる2つの対数のうちの1つなので、指数方程式を解くときには両辺の自然対数を取ることが多いです。
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5x = 212 を解きます。
212は5の累乗ではないので、この方程式を解くにはlogを使わなければなりません。 各辺の基数5の対数を取って解き、基数変更の公式を適用することもできますが、むしろ最初に自然対数を使用したいと思います。
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Solve 102x = 52
52は10の累乗ではないので、logを使って解かなければなりません。 この例では、基数が10であり、基数10のログは電卓で行うことができるので、この特定の方程式を解くために自然対数の代わりに共通対数を使用します。
102x = 52
log(102x) = log(52)
2x – log(10) = log(52)
2x(1) = log(52)
2x = log(52)
….または、小数点以下3桁に丸めて約0.858です。
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3(2x+4) = 350
指数を見始める前に、まず3を取り除かなければならないので、それを割って次のようになります。 ここでは自然対数を使うことにします。
….または、小数点以下3桁に丸めて約2.866です。
注：2の累乗を分解するために指数の規則を使って上記を解くこともできます：
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