複利

複利とは？

複利とは、ローンや預金の利息を、当初の元本と過去の累積利息の両方に基づいて計算することです。

複利の発生率は複利計算の回数に依存し、複利計算の回数が多いほど複利の発生率が高くなります。

複利の発生率は複利計算の回数によって異なり、複利計算の回数が多いほど複利が大きくなる。 このように、複利効果は当初の元金に応じてどんどんプラスのリターンが得られることから、「複利の奇跡」と呼ばれることもあります。”

複利の理解

複利の計算

複利は、当初の元金に1を掛けたものに、複利期間の数から1を引いた数に上げた年利を掛けて計算します。 そして、得られた値から初期の総量を差し引きます。

複利の計算式は以下の通りです。

• 複利＝将来の元本と利息の合計額（または将来価値）から現在の元本額（または現在の

= – P

= P

どこにあるのか。

P = 元金

i = 名目年利率(百分率)

n = 複利計算期間の数

10ドルの3年ローンを組みます。の3年ローンを組みます。年複利の金利5％で10,000ドルを3年間借ります。 利息の額はいくらになるでしょうか？

複利の成長

上記の例では、複利には過去の累積利息も考慮されるため、単利の場合のように3年間の利息額は同じではありません。

複利の期間

複利を計算する際には、複利の期間の数が大きな違いとなります。

次の表は、1万ドルのローンを年利10％で10年間借りた場合の複利期間数の違いを示したものです。

複利は、長期的には投資収益を大きく向上させます。 年間5％の単利を受け取る10万ドルの預金は、10年間で合計5万ドルの利息を得ることができますが、1万ドルの年間5％の複利は、同じ期間で62,889.46ドルにもなります。 もし、同じ10年間、5％の複利で毎月支払われるとしたら、総利息はかえって64,700.95ドルに膨らむことになります。

エクセルでの複利計算

数学の授業に参加したのは久しぶりだという方もご安心ください。 複利計算を行うための便利なツールがあります。 多くの電卓 (携帯電話とコンピュータの両方) には指数関数があり、これらの目的に利用できます。

1. 複利を計算する第一の方法は、毎年の新しい残高に金利を掛けることです。 例えば、1,000ドルを毎年5％の金利で複利計算される普通預金口座に預け、5年後の残高を計算したいとします。 Microsoft Excelで、セルA1に「年」を、セルB1に「残高」を入力します。 セルA2～A7に0～5年目を入力します。 0年目の残高は1,000ドルなので、セルB2に「1000」と入力します。 次に、セルB3に「=B2*1.05」と入力します。 次に、セルB4に「=B3*1.05」と入力し、これをセルB7まで続けます。 セルB7では「=B6*1.05」と計算されます。 最後に、セルB7で計算された値「1,276.28ドル」が、5年後の普通預金口座の残高です。 複利の値を求めるには、1,276.28ドルから1,000ドルを引くと、276.28ドルの値が得られます。
2. 複利の計算方法の2つ目は、決まった計算式を使う方法です。 複利の計算式は((P*(1+i)^n)-P)で、Pは元本、iは年利、nは期間数です。 上記と同じ情報を使って、セルA1に「元金」、セルB1に「1000」と入力します。 次に、セルA2に「金利」を、セルB2に「.05」を入力します。 セルA3には「複利期間」、セルB3には「5」と入力します。 これで、セルB4に「=(B1*(1+B2)^B3)-B1」と入力して複利を計算すると、276.28ドルが得られます。
3. 複利を計算する3つ目の方法は、マクロ関数を作成することです。 まず、開発者タブにあるVisual Basic Editorを起動します。 挿入」メニューをクリックして、「モジュール」をクリックします。 そして、1行目に「Function Compound_Interest(P As Double, i As Double, n As Double) As Double」と入力します。 2行目では、tabキーを押しながら、”Compound_Interest = (P*(1+i)^n) – P. “と入力します。 モジュールの3行目に “End Function “と入力します。 これで複利率を計算する関数マクロができました。 上の同じExcelワークシートから続けて、セルA6に「複利」と入力し、”=Compound_Interest(B1,B2,B3) “と入力します。

Using Other Calculators

前述のように、多くの無料複利計算機がオンラインで提供されており、多くの携帯型計算機でもこれらの作業を行うことができます。

• Financial-Calculators.comで提供されている無料複利計算機は、操作が簡単で、複利計算の頻度を毎日から毎年まで選択できます。 連続複利を選択することもでき、実際のカレンダーの開始日と終了日を入力することもできます。
• 米国証券取引委員会(SEC)が運営するウェブサイトInvestor.govは、無料のオンライン複利計算機を提供しています。
• TheCalculatorSite.comでは、さらにいくつかの機能を備えた無料のオンライン複利計算機を提供しています。

複利計算の頻度

利息は、毎日から毎年まで、任意の頻度のスケジュールで複利計算することができます。

銀行の普通預金の複利計算は、1日単位が一般的です。

銀行の普通預金の複利計算は毎日、CDの複利計算は毎日、毎月、半年ごと、マネーマーケットの複利計算は毎日が一般的です。

また、発生した利息が実際に既存の残高に加算される時期にも違いがあります。

また、発生した利息が実際に残高に加算される時期にも違いがあります。

一部の銀行では、連続複利と呼ばれるものもあり、これは可能な限りあらゆる瞬間に元金に利息を加えるものです。

一部の銀行では、連続複利と呼ばれるものもあります。

お金の時間的価値の考察

お金の時間的価値と複利による指数関数的な成長を理解することは、収入と富の配分を最適化しようとする投資家にとって不可欠です。

将来価値(FV)と現在価値(PV)を求める公式は以下の通りです。

FV = PV (1 +i)n and PV = FV / (1 + i) n

例えば、1万ドルを3年間、毎年5%で複利運用した場合の将来価値は次のようになります。

$11,576.25の現在価値は、3年後に5%で割引いたものです。25を5%で3年間割り引いた場合、

1.157625の逆数である0.8638376が、この例での割引率です。

「72の法則」の考察

いわゆる「72の法則」とは、与えられた収益率または利息「i」で投資が2倍になるおおよその時間を計算するもので、（72/i）で与えられます。

例として、年率6％の投資は12年で2倍になります。

Compound Annual Growth Rate (CAGR)

複合年間成長率(CAGR)は、一定期間における単一の成長率の計算を必要とするほとんどの金融アプリケーションに使用されます。

例えば、あなたの投資ポートフォリオが5年間で10,000ドルから16,000ドルに成長したとしましょう。 基本的には、PV = -$10,000、FV = $16,000、nt = 5ということになりますので、変数「i」を計算する必要があります。

CAGRの実用例

CAGRは、株式や投資信託、投資ポートフォリオの一定期間のリターンを計算するために広く使用されています。 また、CAGRは、ミューチュアル ファンド マネージャやポートフォリオ マネージャが、ある期間において市場の収益率を上回ったかどうかを確認するためにも使用されます。

CAGRは、長期間にわたる投資ポートフォリオの期待成長率を計算するのにも使用され、老後のための貯蓄などの目的に役立ちます。

例1: リスクを嫌う投資家は、自分のポートフォリオの年間収益率が3%程度であれば満足です。 現在の100,000ドルのポートフォリオは、20年後には180,611ドルに成長することになります。

例2: CAGRは、特定の目的のために貯蓄するためにどれだけの金額を蓄える必要があるかを見積もるために使用できます。 マンションの頭金に充てるために10年間で5万ドルを貯めたいと考えている夫婦は、貯金の年間収益率（CAGR）を4％と仮定すると、年間4,165ドルを貯める必要があります。

例3: CAGRは、人生の後半ではなく早期に投資することの良さを示すためにも使用できます。 65歳で退職するまでに100万ドルを貯めることを目標とした場合、CAGRを6%とすると、25歳の人はこの目標を達成するために年間6,462ドルを貯める必要があります。

• CAGRは経済データにも頻繁に登場します。 例えば、中国の一人当たりのGDPは1,000万ドルを超えました。 中国の一人当たりのGDPは、1980年の193ドルから2012年には6,091ドルになりました。 この32年間の一人当たりGDPの年間成長率は何％でしょうか？

複利計算の長所と短所

複利計算は、アルバート・アインシュタインが「世界の8番目の不思議」または「人間の最大の発明」と呼んだという逸話があるように、魔法のようなものですが、クレジットカードなどの超高金利のローンを抱えている消費者にとっては、複利計算は不利に働きます。

ポジティブな面では、複利の魔法は投資に関しても有利に働き、富を築くための強力な要因となります。

ミューチュアル・ファンドは、投資家が複利の恩恵を受けるための最も簡単な方法の一つです。

ミューチュアル・ファンドは、投資家が複利の恩恵を受ける最も簡単な方法です。

最初に5,000ドル、毎年2,400ドルを追加して投資したミューチュアル・ファンドを考えてみましょう。 年平均12％のリターンを30年間続けると、ファンドの将来価値は798,500ドルになります。 複利とは、投資に拠出された現金と実際の将来価値との差のことです。

もちろん、複利による収益は課税対象となります。ただし、タックスシェルター口座に預けている場合は別で、通常は納税者の税率に応じた標準税率で課税されます。

複利の投資

証券会社の口座で再投資プランを選択した投資家は、基本的に投資したものに複利の力を使っています。 また、ゼロクーポン債を購入することでも複利効果を実感できます。

ゼロクーポン債は、投資家に小切手を送ることなく、本来の価値よりも割安な価格で購入し、時間の経過とともに成長していく債券です。 ゼロクーポン債の発行者は、複利の力を使って債券の価値を高め、満期時には満額になるようにしているのです。

ローンの返済でも複利の力が働きます。

ローンの返済でも複利が効きます。例えば、住宅ローンを月に1回全額支払うのではなく、月に2回、半分ずつ支払うことで、償却期間が短縮され、かなりの利息を節約することができます。

ローンといえば…

利息が複利かどうかを見分ける

貸金業法（Truth in Lending Act: TILA）では、貸主が潜在的な借主にローン条件を開示することが義務付けられており、その中には、ローン期間中に返済する利息の総額や、利息が単純に発生するのか複利で発生するのかが含まれています。

もうひとつの方法は、ローンの金利とAPR（Annual Percentage Rate）を比較することです。 APRは、金利や手数料を含むローンの金融費用を単純な金利に換算したものです。 金利とAPRに大きな差があるということは、次の2つのシナリオのいずれかまたは両方を意味します。 そのローンは複利で運用されているか、利息に加えて高額なローン手数料が含まれているかのどちらかです。 同じ種類のローンでも、金融機関の手数料やその他のコストによって、APRの幅は金融機関によって大きく異なります。

よくあるご質問

複利の簡単な定義を教えてください。

複利とは、銀行口座やローン、投資に伴う利息が、時間の経過とともに直線的ではなく、指数関数的に増加する現象のことです。 この概念を理解するには、”compound “という言葉が鍵となります。 例えば、毎年10％の配当があるビジネスに100ドルを投資したとします。 その配当金を現金としてポケットに入れるか、あるいは追加の株式に再投資するかを選択することができます。 2番目の選択肢、つまり配当金を再投資し、最初の100ドルの投資と合わせて複利で運用することを選択すれば、あなたが生み出すリターンは時間とともに増加し始めます。

簡単に言えば、複利は投資家にメリットがあるということですが、「投資家」の意味は非常に広いものです。 例えば、銀行はお金を貸して、その利息を再投資して追加の融資をすることで複利の恩恵を受けます。 預金者も、銀行口座や債券などの投資に対して利息を受け取ることで複利の恩恵を受けます。

複利でお金持ちになれるの？

はい。 実際、複利はこれまでに考えられた中で最も強力な富を生み出す力であると言えます。 文字通り何千年も前から、商人や貸し手、さまざまなビジネスマンが複利を使って金持ちになったという記録があります。 例えば、古代都市バビロンでは、4,000年以上前に粘土板を使って複利の数学を教えていたそうです。

現代では、ウォーレン・バフェット氏が世界で最も裕福な人物の一人となったのは、投資収益を長期間にわたって根気よく複利計算するというビジネス戦略によるものでした。 今後も、何らかの形で複利を利用した資産形成が行われていくことでしょう。