6 Things You Probably Didn't Know About Pi
今日は円周率の日です。 ご存知、3月14日です。 3/14は3.14のようなものです。 わかりますか？ 3/14は分数のように見えて円周率ではないので、ちょっと無理がありますね。 ともかく。
たとえ円周率の日の日付が少し変でも、円周率はとても素晴らしいものです。
There are many approximations for Pi
もしあなたが円を持っているなら、2つのことを測ることができます：円の周囲の距離（円周）と円の最も広い部分の距離（直径）です。 どんなに大きな円でも、円周と直径の比は円周率という値になります。 円周率は無理数であり、無限大ではない小数として書くことはできない。
円周率の最も単純な近似値はわずか3です。 かつて、多くの数学書は円周率を22/7と記載していました。
数学の初期の歴史では、円周率の値の多くの近似値が取り上げられています。 最も一般的な方法は、多辺形の多角形を作り、それを使って周囲と直径を計算し、円周率の推定値とすることです。
円周率を何桁も計算できる
円周率を計算する方法はたくさんありますが、ここでは一番わかりやすい方法を紹介します。 まず、逆正接関数から始めます。 1の逆正接はπ/4であることがわかっており、これを使って円周率を計算することができます。 しかし、これを電卓に入力して円周率を求めることはできません—それは、すでに円周率を知っていることを前提としています。
テイラー級数の背後にある基本的な考え方は、関数の一部分だけに注目すると、どんな関数も累乗級数のように見えるというものです。
この関数を点 x = 1 について拡張すると、π/4 になるはずです。 つまり、πについては以下のようになります。
これで終わりです。 あとは、好きなだけこの式を書き続けてもいいですし、コンピュータにやってもらってもいいでしょう。
ほら、コンピュータにとってはそれほど難しいことではないでしょう。 しかし、10,000項を超えても計算値が受け入れた値と異なることがわかります。
乱数で円周率を計算することができます
これは私の好きな円周率のアクティビティです。 以下はそのアイデアです。 0から1までの乱数のペアを生成し、ランダムなx,y座標を作成します。 これらの点を1×1のグリッドにプロットし、原点からの距離を計算します。 原点からの距離が1より小さいものと、1より大きいものがあります。距離が1より小さい点は、「円の内側」—実際には円の4分の1です。 そこで、円の内側にある点を全体の点と比較して数えることで、この円の面積の推定値が得られ、π/4となります。
OK、これがプログラムです。
本当にこれで遊んでみてください (楽しいですから)。 ポイントの数を変えたりしてみてください。 私は「rate(1000)」という文を入れたので、ポイントが追加されているのがわかります。
円周率と重力には関連性がある
電卓を用意してください。 局所重力定数(g)に9.8m/s2を使います。
これは受け入れられている円周率の値にかなり近いですが、偶然ではありません。 これは、長さの単位としてのメートルの原型に由来しています。 メートルを定義する一つの方法は、一振りするのに1秒（周期では2秒）かかる振り子を作ることです。
長さに1メートル、周期に2秒を入れると、ドーン！とつながりますね。
Piは5つの超数のグループに属する
これはオイラーの恒等式です。
もし、この方程式がクレイジーで素晴らしいと思わないのであれば、それは注意を払っていないということです。
- Pi: ご存知の通り、円とその他のもの。
- e: 自然数。 この数は微積分などで非常に重要です（以前の私の説明はこちら）
- i: 虚数です。
- i: 虚数。この数(負の1の平方根)で複素数(実数と虚数の組み合わせ)を書くことができます。
- 1：乗法の恒等式です。
- 0: 加算の恒等式です。
でも、なぜこの式が成り立つのでしょうか？ それほど簡単な答えではありません。
しかし、それは魔法をさらに魔法で説明するようなものです。 私にとっての問題は、私たちが数を実際に数えられるものとして考えたがることです。 しかし、虚数を数えることはできません。 32は3つのグループの3のようなものだと言えますが、31.32はどうでしょうか？ あるいは、3-3.2iはどうでしょう？ これらはかなりイメージしづらいですね。
152小数の円周率があれば十分でしょう
大きな球体を想像してみてください。 この大きな球体の直径がわかっていれば、円周率の値を使って円周を求めることもできます。 この球体を、観測可能な宇宙の直径である930億光年（130億光年よりも大きいのはわかっていますが、ややこしいですね）に置き換えてみましょう。 円周率の正確な値がわからなくても、152桁であれば、正確な円周率はわかりません。 しかし、円周率の不確かさは、距離を測る最小単位であるプランク長（意味を持つ）よりも小さい。
では、円周率の桁数をどんどん増やすことをやめればいいのでしょうか。 いや、円周率のより良い推定値を求め続ける必要があるのです。 いずれにしても、円周率の桁数の中に何を見出すことができるかは誰にもわかりません。 すでに、9が6つ並ぶファインマンポイントがあります。
宿題
円周率の日の宿題はいかがですか？
- 円周率の桁を計算するためのより良い数値レシピを見つけて、それを実行してください (Python か何かで)。
- 宇宙の円周を原子1個分の大きさまで計算するのに、円周率の何桁が必要かを計算 (または推定) してください。
- 円周率の桁がランダムであると仮定して、7つの9が連続しているのを見つける確率はどのくらいですか? この 7 つの 9 の字を 50% の確率で見るためには、何桁の数字を計算する必要がありますか？
- 円周率の乱数計算に戻ります。
プログラムを変更して、ランダムな点を2次元ではなく3次元でプロットしてみましょう。