How do you find the Vertical Asymptotes of a Function?

今回は、「漸近線」という言葉についてお話します。 私の経験では、学生はしばしばこの言葉にとらわれて、この種の問題は不可能だと思っているかもしれません。

漸近線の種類

漸近線には、水平方向、垂直方向、斜め方向の3種類があります。 この記事では、垂直方向の漸近線に焦点を当てます。 水平方向の漸近線については別の場所で説明し、斜め方向の漸近線は AP 試験ではほとんど見られません (斜め方向の漸近線についての詳細は、この記事とこの役に立つビデオを参照してください)。

垂直な漸近線

関数の垂直な漸近線 (VA) は、関数 f(x) が無制限になる場所を示す垂直線 x = k です。 言い換えれば、x が k に近づくにつれて、関数の y 値が正の意味で (y→ ∞) または負の意味で (y→ -∞) 任意に大きくなることを、左からまたは右から示しています。

垂直漸近線とは、関数が越えられない「レンガの壁」のようなものです。 飛行機に乗っていて、前方に巨大な山が見えたとします。 もし、その山の周りを右にも左にも行けないとしたら、あなたはどうしますか？ おそらく、山にぶつからないように上に向かって飛ぶでしょう。 さて、その山が垂直で無限に高いとします。 そうすると、ぶつからないように永遠に上に向かって飛んでいっても、山を越えられないかもしれません！

関数には、任意の数の垂直漸近線があるかもしれませんし、まったくないかもしれません。 ある関数は無限に多くの垂直漸近を持つことさえあります。

定義には固定値に近づく変数が含まれているので、限界が何らかの形で関係していることは驚くべきことではありません。 垂直漸近の正確な定義は以下の通りです。 x = k への左手または右手の限界が無限である場合、x = k は関数 f(x) の VA であると言います。

Finding Vertical Asymptotes

AP Calculus AB試験の問題で垂直漸近線を求める方法は主に2つあります。 1つはグラフから、もう1つは解析的に（関数の方程式から）です。

グラフから垂直漸近線を求める

グラフが与えられている場合、グラフに切れ目がないかを確認します。 関数の分岐が垂直方向に向かっているようであれば、おそらくVAを見ていることになります。 漸近線があると思われるx値に垂直線をスケッチするとよいでしょう（上のグラフを参照）。

Determining Vertical Asymptotes from the Equation

AP試験で垂直漸近線を見つける必要がある場合、ほとんどの場合、グラフは与えられません。 そのため、関数の方程式で何を探すべきかを知る必要があります。 この関数のどこに無限の限界があるかを考えてみてください。

有理関数の垂直漸近線

関数が有理である場合、つまり、f(x)が、p(x)とq(x)の両方が多項式である、f(x)=p(x)/q(x)という分数の形をしている場合は、次の 2 つのステップに従います：

1. 分子(上)と分母(下)の両方を因数分解します。 これは非常に重要なことで、もしいずれかの因子が相殺されてしまうと、それらは垂直漸近線に寄与しないことになります。

2. 有理関数が完全に減少したら、分母の因子を見ます。 もし(x – a)を含む因子があれば、x = aはVAです。 (x + a)を含む因子があれば、x = -a が VA です。 符号が両方とも反対になっていることに注意してください (ちょうど、ゼロに等しい因数分解された多項式を解くように)。

Practice Finding Vertical Asymptotes

私たちの方法がどのように機能するか見てみましょう。

Solutions:
(a) First factor and cancel.

因数x – 5が相殺されたので、最終的な答えには寄与しません。 下にはx + 5だけが残り、x = -5にVAが1つあることになります。

(b) 今度は因数分解してもキャンセルはありません。

x=0とx=-2の2つの垂直漸近線を求めます。

三角関数の垂直漸近線

因数分解の方法は有理関数にのみ適用されます。 しかし、他の多くの種類の関数には垂直漸近線があります。 おそらく、最も重要な例は三角関数です。

例えば、f(x) = cot x は、πの整数倍ごとに VA を持ちます。 言い換えれば、x = n π は、すべての n = 0, ±1, ±2, ±3 に対して VA です。 …

グラフ電卓を使う

より一般的な関数の場合、解くのが難しいかもしれません。 もし、試験でグラフ計算機を使用できるセクションに取り組んでいるのであれば、単純に関数をグラフ化し、y値が拘束されなくなるグラフの切れ目を見つけようとするかもしれません。 TI-84のような一部の電卓には、漸近線の検出というオプションがあり、VAを自動的にグラフ化してくれます。

おわりに

漸近線は、関数の動作について教えてくれる特定の線です。 垂直方向の漸近線は、関数が無限の限界 (y値が束縛されない) を持つ場所を示します。 漸近線は、関数の方程式から解析的に見つけるだけでなく、与えられたグラフ上で漸近線を見つけることができるようになることが重要です。 また、グラフ計算機を使うこともできます。 少し時間をかけて練習すれば、これらのテクニックは簡単に習得できますので、垂直漸近法がAP微積分試験で遠くまで行くのを妨げる「レンガの壁」になる必要はありません！