Mersenne素数

Mersenne素数とは、2n-12^{n}-12n-1の形で書くことができる素数のことです。 例えば、313131は、25-12^{5}-125-1と書けるメルセンヌ素数です。 最初の数個のメルセンヌ素数は、3,7,31,127,81913,7,31,127,81913,7,31,127,8191です。 2018年6月現在、知られているメルセンヌ素数は50個ですが、今後変化していくことを期待しています。 メルセンヌ素数の面白いところは、素数であることを証明するのが最も簡単な自然数であるため、既知の素数のリストの中で最も大きなカテゴリーを構成していることです。

メルセンヌ素数の探索と好奇心は、完全数の研究から生まれました。 完全数とは、正の適切な約数の総和として書ける数のことです。 例えば、666は、6=1+2+36=1+2+36=1+2+3と書けるので完全数であり、実際に最も小さい完全数である。

正の整数aaaが2n-1(2n-1)2^{n-1}(2^{n}-1)2n-1(2n-1)の形で書け、2n-12^{n}-12n-1が素数であるならば、aaaは偶数の完全数でなければならないことが示されます。 2n-12^{n}-12n-1が素数であるならば、それはMersenne素数であり、Mersenne素数と偶数完全数の間には一対一の対応があることがわかりました。 つまり、すべてのメルセンヌ素数は、ちょうど1つの偶数完全数に対応しているのです!

Prove that 2n-12^{n}-12n-1 is prime, then nnn must also be prime.

pppとqqqをn=p・qn=p\cdot qn=p・qとなるような1より大きな正の整数とします。 すると、因数分解恒等式を用いて、

2pq-1=(2p-1)・(1+2p+22p+23p+⋯+2p(q-1))となります。2 }^{ pq }-1=\cdot \left( 1+{ 2 }^{ p }+{ 2 }^{ 2p }+{ 2 }^{ 3p }+\cdots+{ 2 }^{ p(q-1) } )となります。 \right）となります。) 2pq−1=(2p−1)⋅(1+2p+22p+23p+⋯+2p(q−1)).

だから、nnnが合成で、WLOG1<p<q1

の場合は<

p<q1<p<q, とすると、2n-12^{n}-12n-1項は、2p-12^{p}-12p-1項で割り切れるので、合成されることになります。 □_square□

この証明は、2n-12^{n}-12n-1が素数であれば、nnnも素数であることを教えてくれます。 しかし、上の式の第2項を考慮していないので、nnnが素数であれば2n-12^{n}-12n-1も素数であることは保証されません。