形状 | Mefics

幾何学では、ユークリッド空間の2つの部分集合は、一方が他方に対して、平行移動、回転（合わせて剛体変換とも呼ばれる）、一様なスケーリングの組み合わせで変換できる場合、同じ形状を持つとされる。言い換えれば、点の集合の形状とは、並進、回転、大きさの変化に影響されないすべての幾何学的な情報です。

数学者および統計学者である David George Kendall 氏は次のように書いています。

この論文では、「形状」は一般的な意味で使用されており、通常期待される意味を持っています。

物理的な物体の形状は、それらの物体が占める空間の部分集合が上記の定義を満たすならば、等しい。特に、形状はオブジェクトのサイズや空間内の配置に依存しません。例えば、「d」と「p」は、「d」を所定の距離だけ右に平行移動させ、逆さに回転させ、所定の倍率で拡大すると完全に重なり合うので、同じ形になります（詳細は「プロクルスの重ね合わせ」を参照）。しかし、鏡像といっても、別の形ということもあります。例えば、”b “と “p “は、少なくとも、それらが書かれたページのような2次元空間内での移動を制約されている場合には、異なる形をしています。同じ大きさであっても、ページに沿って平行移動したり回転したりして、完全に重ね合わせることはできません。同じように、三次元空間の中では、右手と左手は鏡像であっても違う形をしています。縮尺が不均一な場合には、形が変わることがあります。例えば、球体は縦横のスケールが異なると楕円体になります。つまり、形状を維持するためには、対称軸がある場合はそれを維持することが重要です。

Congruence and similarityEdit

Main articles: Congruence (geometry) and Similarity (geometry)

剛体変換や鏡像変換（拡大縮小は不可）によって互いに変形できる物体は合同です。したがって、ある物体はその鏡像（対称でなくても）とは合同ですが、拡大縮小したものとは合同ではありません。合同な2つのオブジェクトは、常に同じ形または鏡像の形を持ち、同じサイズです。

同じ形または鏡像の形を持つオブジェクトは、サイズが同じであるかどうかにかかわらず、幾何学的に類似していると呼ばれます。このように、剛体変換、ミラーリング、一様なスケーリングによって互いに変換できるオブジェクトは類似しています。片方のオブジェクトが一様に拡大縮小されても類似性は保たれますが、合同性は保たれません。

HomeomorphismEdit

Main article:

形状のより柔軟な定義は、現実的な形状がしばしば変形可能であるという事実を考慮しています。例えば、異なる姿勢の人、風で曲がる木、異なる指の位置の手などです。大雑把に言うと、ホメオパシーとは、物体を連続的に伸ばしたり曲げたりして、新しい形を作ることです。つまり、正方形と円は同型ですが、球とドーナツは同型ではありません。よく言われる数学的なジョークに、「トポロジストはコーヒーカップとドーナツの区別がつかない」というものがあります。これは、十分に柔軟なドーナツは、カップの持ち手にあるドーナツの穴を維持したまま、くぼみを作り、それを徐々に大きくすることで、コーヒーカップの形に作り変えることができるからです。

記述された形状には、目に見える外部の線があり、その形状を構成しています。座標グラフに座標を記入していれば、形が見えるように線を引くことができますが、座標グラフに座標を記入すれば、必ず形ができるわけではありません。

Shape analysisEdit

Main article: 統計的形状解析

上述の剛体・非剛体の数学的定義は、統計的形状解析の分野で生まれました。特にプロクラステス解析は、類似した物体（異なる動物の骨など）の形状を比較したり、変形可能な物体の変形を測定したりするのに使われる手法です。

similarity classesEdit

すべての似たような三角形は同じ形をしています。これらの形状は、J.A. Lester氏とRafael Artzy氏が提唱した方法で、頂点に複素数u、v、wを用いて分類することができます。例えば、正三角形は、その頂点を表す複素数0, 1, (1 + i √3)/2で表すことができます。 LesterとArtzyはこの比を

S ( u , v , w ) = u – w u – v {\frac {u-w}{u-v}}}と呼んだ。

$S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}$

三角形(u, v, w)の形です。すると、正三角形の形は

(0-(1+ √3)/2)/(0-1) = ( 1 + i √3)/2 = cos(60°) + i sin(60°) = exp( i π/3) となります。

複素平面の任意のアフィン変換、z ↦ a z + b , a ≠ 0 に対して、{displaystyle z\ az+b, ˶ˆ꒳ˆ˵ }

$z\ az+b, ˶ˆ꒳ˆ˵ 0,$

三角形は変換されますが、形は変わりません。形状p=S(u,v,w)は、関数Sの引数の順番に依存しますが、順列を組むと関連した値になります。例えば、1 – p = 1 – ( u – w ) / ( u – v ) = ( w – v ) / ( u – v ) = ( v – w ) / ( v – u ) = S ( v , u , w ) となる。 S(v,u,w)=S(u-w)/(u-v)=S(v-w)/(v-u)=S(v,u,w).｝ということになる。

$1-p=1-(u-w)/(u-v)=(w-v)/(u-v)=(v-w)/(v-u)=S(v,u,w).$

また、p – 1 = S ( u , w , v ). {displaystyle p^{-1}=S(u,w,v).}となります。

$p^{{-1}}=S(u,w,v).$

これらの順列を組み合わせると、S ( v , w , u ) = ( 1 – p ) – 1 となります。

$S(v,w,u)=(1-p)^{{-1}}.$

さらに、p ( 1 – p ) – 1 = S ( u , v , w ) S ( v , w , u ) = ( u – w ) / ( v – w ) = S ( w , v , u ) となります。 {displaystyle p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)=(u-w)/(v-w)=S(w,v,u).}となります。

$p(1-p)^{{-1}}=S(u,v,w)S(v,w,u)=(u-w)/(v-w)=S(w,v,u).$

これらの関係は、三角形の形の「変換ルール」です。

四辺形の形状は、2つの複素数p,qに関連付けられています。四辺形の頂点がu,v,w,xの場合、p=S(u,v,w)、q=S(v,w,x)となります。

p = ( 1 – q ) – 1 , {displaystyle p=(1-q)^{-1},}
$p=(1-q)^{-1},$

であれば、四辺形は平行四辺形であることがわかる。
平行四辺形が｜arg p｜＝｜arg q｜の場合、それはひし形である。
p＝1＋i、q＝（1＋i）／2の場合、四辺形は正方形である。
p＝r ( 1 – q – 1 ) {\displaystyle p=r(1-q^{-1})}の場合。