標準偏差

少し難しい実例を挙げてみましょう。 米国の成人男性の平均身長は70インチで、標準偏差は3インチです。 標準偏差が3インチということは、ほとんどの男性(正規分布を仮定して約68%)の身長が平均値(67インチ～73インチ)よりも3インチ高いか3インチ低い、つまり1つの標準偏差であることを意味します。 ほぼすべての男性（約95％）の身長は、平均値（64インチ～76インチ）よりも6インチ高く、6インチ低く、つまり2つの標準偏差があります。 3つの標準偏差は、調査対象となるサンプル集団の99.7%のすべての数値を含みます。

もし標準偏差が0であれば、すべての男性の身長はちょうど70インチになります。

標準偏差がゼロならば、すべての男性の身長はちょうど70インチですが、標準偏差が20インチならば、一部の男性の身長は平均よりもはるかに高く、または低く、典型的な範囲は約50インチから90インチです。

別の例では、{0, 0, 14, 14}、{0, 6, 8, 14}、{6, 6, 8, 8}の3つのグループの平均値は7ですが、標準偏差は7、5、1です。 3つ目のグループは、すべての数字が7に近いため、他の2つのグループよりも標準偏差がはるかに小さくなります。 一般的に、標準偏差は、残りの数字が平均からどれくらい離れているかを示すもので、数字自体と同じ単位を持ちます。 例えば、{0, 6, 8, 14}というグループが4人の兄弟の年齢を年で表しているとすると、平均は7歳、標準偏差は5歳となります。

標準偏差は、不確実性の尺度として使われることがあります。例えば、科学の分野では、繰り返し測定した結果の標準偏差を見れば、平均値がどの程度確かなものかを知ることができます。 実験で得られた測定値が予測と一致するかどうかを判断する際には、その測定値の標準偏差が非常に重要になります。 実験で得られた平均的な数値が、予測された数値からあまりにも離れている場合（その距離は標準偏差で測定されます）、検証されている理論は正しくないかもしれません。

Application examplesEdit

一連の値の標準偏差を理解することで、「平均」(mean)からどの程度の差が予想されるかを知ることができます。

WeatherEdit

簡単な例として、内陸部と海に近い場所にある2つの都市の1日の平均最高気温を考えてみましょう。 海に近い都市の一日の最高気温の範囲は、内陸の都市に比べて小さいことを理解しておくとよいでしょう。 この2つの都市は、それぞれ同じ日最高気温の平均値を持つかもしれない。

SportsEdit

もう一つの見方として、スポーツチームを考えてみましょう。 どんなスポーツでも、得意なチームと不得意なチームがあります。 上位にランキングされているチームは、能力の差があまり見られません。 ほとんどのカテゴリーで良い成績を残します。 各カテゴリーの能力の標準偏差が低いほど、バランスが取れていて一貫性があります。 しかし、標準偏差が高いチームは、予測がつきにくくなります。 ほとんどのカテゴリーで普段から悪い成績を残しているチームは、標準偏差が低くなります。 ほとんどのカテゴリーで普段から良い成績を収めているチームは、標準偏差も低くなります。 しかし、標準偏差が高いチームは、多くのポイントを獲得する（オフェンスが強い）一方で、相手チームに多くのポイントを取らせてしまう（ディフェンスが弱い）タイプのチームかもしれません。

どのチームが勝つかを事前に知るためには、チームの様々な「統計」の標準偏差を見ることがあります。 予想と異なる数値は、強みと弱みを一致させ、どのチームが勝つかを知る上で最も重要な理由を示すことができます。

レースでは、ドライバーがコースを1周するのにかかる時間を計測します。 ラップタイムの標準偏差が低いドライバーは、標準偏差が高いドライバーよりも安定しています。

MoneyEdit

お金の世界では、標準偏差は、価格が上下するリスクを意味する場合があります（株式、債券、不動産など）。 また、価格の集まりが上下するリスクを意味することもあります（アクティブ運用のミューチュアル・ファンド、インデックス・ミューチュアル・ファンド、ETFなど）。 リスクは、何を買うかを決定する一つの理由となります。 リスクは、人々がどれだけのお金を得たり失ったりする可能性があるかを知るために使用できる数字です。 リスクが大きくなればなるほど、投資のリターンは期待以上のものになる可能性があります（標準偏差の「プラス」）。

例えば、ある投資のリターンが予想以上に大きい場合（プラスの標準偏差）、その投資が予想以上に損をする場合（マイナスの標準偏差）があります。

例えば、ある人が2つの株を選ぶことになったとします。 過去20年間の株式Aの平均リターンは10％で、標準偏差は20％ポイント（pp）でした。 一方、銘柄Bの過去20年間の平均リターンは12％だが、標準偏差は30ppと大きかった。 リスクを考えると、株式Aの方が安全だと判断する人もいるでしょう。 儲けは少なくても、損失も少ないだろう。

正規分布する数値のルールEdit

紺色は、平均からの標準偏差が 1 未満であることを示しています。 正規分布の場合、これは68.27パーセントの数字を含みますが、平均からの2つの標準偏差(中と紺)は95.45パーセントを含み、3つの標準偏差(薄、中、紺)は99.73パーセントを含み、4つの標準偏差は99.994パーセントを占めます。

標準偏差に関するほとんどの数学の方程式は、数字が正規分布していることを前提としています。 これは、数値が平均値の両側に一定の方法で広がっていることを意味します。 正規分布は、カール・フリードリヒ・ガウスが発見したことから、ガウス分布とも呼ばれています。 また、数値が広がっていく様子がグラフ上でベルの形をしていることから、ベルカーブと呼ばれることもあります。

数字が平均値の片側または反対側にまとまっている場合は正規分布ではありません。

数字が広がっていても、正規分布であることに変わりはありません。 標準偏差は、数字がどのくらい広がっているかを示しています

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