Lösen von Exponentialgleichungen mit Logarithmen
Aus der DefinitionMit LogarithmenMit Taschenrechner
Purplemath
Die meisten Exponentialgleichungen lassen sich nicht sauber lösen; es gibt keine Möglichkeit, die Basen umzuwandeln, damit sie gleich sind, wie zum Beispiel die Umwandlung von 4 und 8 in Potenzen von 2. Beim Lösen dieser komplizierteren Gleichungen müssen Sie Logarithmen verwenden.
Das Einnehmen von Logarithmen erlaubt es uns, die Logarithmenregel zu nutzen, die besagt, dass Potenzen innerhalb eines Logarithmus als Multiplikatoren nach vorne verschoben werden können. Indem wir den Logarithmus eines Exponentials nehmen, können wir die Variable (die sich im Exponenten befindet, der nun innerhalb eines Logarithmus ist) als Multiplikator des Logarithmus nach vorne verschieben. Mit anderen Worten, die Logarithmusregel lässt uns die Variable wieder nach unten verschieben, wo wir sie in die Hand nehmen können.
Zum Beispiel:
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Löse 2x = 30
Wenn mich diese Gleichung aufgefordert hätte, „Löse 2x = 32“, dann wäre es einfach gewesen, die Lösung zu finden, denn ich hätte die 32 in 25 umwandeln, die Exponenten gleich setzen und „x = 5“ lösen können. Aber im Gegensatz zu 32 ist 30 keine Potenz von 2, so dass ich die Potenzen nicht gleich setzen kann. Ich brauche eine andere Methode, um an das x zu kommen, denn ich kann die Gleichung nicht lösen, wenn die Variable dort oben über der 2 schwebt; ich brauche sie wieder unten auf dem Boden, wo sie hingehört, wo ich sie erreichen kann. Und ich muss Logarithmen verwenden, um die Variable nach unten zu bringen.
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Wenn ich mit Gleichungen umgehe, kann ich mit der Gleichung machen, was ich will, solange ich auf beiden Seiten dasselbe tue. Und um eine Gleichung zu lösen, muss ich die Variable selbst auf eine Seite des „Gleichheits“-Zeichens bringen; um die Variable zu isolieren, muss ich „rückgängig“ machen, was auch immer mit der Variable gemacht wurde.
In diesem Fall wurde die Variable x in den Exponenten gesetzt. Die Umkehrung (technisch gesehen, die „Inverse“) von Exponentialen sind Logarithmen, also muss ich den Exponenten rückgängig machen, indem ich den Logarithmus beider Seiten der Gleichung nehme. Das ist für mich wegen der Logarithmusregel nützlich, die besagt, dass Exponenten innerhalb eines Logarithmus in Multiplikatoren vor dem Logarithmus umgewandelt werden können:
logb(mn) = n – logb(m)
Wenn ich den Logarithmus beider Seiten einer Gleichung nehme, kann ich jeden beliebigen Logarithmus verwenden (Basis-10-Logarithmus, Basis-2-Logarithmus, natürlicher Logarithmus usw.), aber einige sind manchmal nützlicher als andere. Da die Basis in der Gleichung „2x = 30“ „2“ ist, könnte ich versuchen, einen Logarithmus zur Basis 2 zu verwenden:
log2(2x) = log2(30)
Jeder Logarithmus der Basis des Logarithmus liefert den Wert 1, also log2(2) = 1. Dann:
x – log2(2) = log2(30)
x(1) = log2(30)
x = log2(30)
Wenn Sie aufgefordert werden, „die Lösung zu finden“, dann sollte das oben genannte eine akzeptable Antwort sein. Allerdings ist dieser Wert zwar „exakt“, aber für Wortprobleme (oder im „richtigen Leben“) nicht sehr hilfreich, wenn Sie eine numerische Näherung benötigen.
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Aber wir können diesen Ausdruck nicht in unseren Taschenrechnern auswerten, so wie er steht. Zuerst müssen wir die Formel für den Basenwechsel anwenden, um den Ausdruck in eine Basis umzuwandeln, die unsere Taschenrechner verstehen, nämlich den natürlichen Logarithmus oder den gemeinsamen Logarithmus. Diese Umrechnung sieht so aus:
x = log2(30)
Erinnerung: Das „ln“ ist die Abkürzung für „logarithmus naturalis“, die lateinische Version dessen, was im Englischen zu „natural log“ wurde. Die Abkürzung wird „ell-enn“ ausgesprochen und mit einem klein geschriebenen „L“ gefolgt von einem klein geschriebenen „N“ geschrieben. Es gibt kein „I“ („Auge“) im Funktionsnamen!
Was wäre passiert, wenn ich von vornherein nur den natürlichen Logarithmus anstelle eines Logarithmus zur Basis 2 verwendet hätte? Der Prozess wäre genau derselbe gewesen, und die letztendliche Antwort wäre äquivalent gewesen.
2x = 30
ln(2x) = ln(30)
x – ln(2) = ln(30)
So oder so erhalte ich die gleiche Antwort, aber die Verwendung des natürlichen Logarithmus an erster Stelle war einfacher und kürzer.
Anmerkung: Ich hätte auch den gewöhnlichen (Basis-10-) Logarithmus anstelle des natürlichen (d. h. Basis-e-) Logarithmus verwenden können und wäre trotzdem auf denselben Wert gekommen (bei der Auswertung im Taschenrechner).
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Da die Wissenschaft den natürlichen Logarithmus so oft verwendet, und da es einer der beiden Logarithmen ist, die Taschenrechner auswerten können, neige ich dazu, beim Lösen von Exponentialgleichungen den natürlichen Logarithmus beider Seiten zu nehmen. Dies ist nicht (generell) erforderlich, aber oft nützlicher als andere Optionen.
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Lösen Sie 5x = 212. Geben Sie Ihre Antwort in exakter Form und als dezimale Näherung auf drei Stellen an.
Da 212 keine Potenz von 5 ist, muss ich Logarithmen verwenden, um diese Gleichung zu lösen. Ich könnte den Logarithmus zur Basis 5 von jeder Seite nehmen, lösen und dann die Formel für den Basenwechsel anwenden, aber ich denke, ich würde lieber gleich den natürlichen Logarithmus verwenden:
5x = 212
ln(5x) = ln(212)
x – ln(5) = ln(212)
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Löse 102x = 52
Da 52 keine Potenz von 10 ist, muss ich die Logarithmen verwenden, um dies zu lösen. In diesem speziellen Fall, da die Basis 10 ist und da Logarithmen zur Basis 10 auf dem Taschenrechner durchgeführt werden können, werde ich den gemeinsamen Logarithmus anstelle des natürlichen Logarithmus verwenden, um diese spezielle Gleichung zu lösen:
102x = 52
log(102x) = log(52)
2x – log(10) = log(52)
2x(1) = log(52)
2x = log(52)
….oder etwa 0,858, gerundet auf drei Nachkommastellen.
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3(2x+4) = 350
Bevor ich mit der Betrachtung des Exponentials beginnen kann, muss ich zuerst die 3 loswerden, also teile ich das ab, um zu erhalten:
Da
keine Potenz von 2 ist, muss ich Logarithmen verwenden. In diesem Fall werde ich den natürlichen Logarithmus verwenden:
….oder etwa 2,866, gerundet auf drei Nachkommastellen.
Anmerkung: Sie könnten die obige Aufgabe auch lösen, indem Sie die Potenz an der 2 mit Hilfe der Exponentenregeln auflösen: