Mersenne-Prime

Eine Mersenne-Primzahl ist eine Primzahl, die in der Form 2n-12^{n}-12n-1 geschrieben werden kann. Zum Beispiel ist 313131 eine Mersenne-Primzahl, die als 25-12^{5}-125-1 geschrieben werden kann. Die ersten paar Mersenne-Primzahlen sind 3,7,31,127,81913, 7, 31, 127, 81913,7,31,127,8191. Es gibt 50 bekannte Mersenne-Primzahlen (Stand: Juni 2018), wobei wir hoffen, dass sich das in Zukunft ändern wird. Eine interessante Sache über Mersenne-Primzahlen ist, dass sie die einfachsten natürlichen Zahlen sind, um zu beweisen, dass sie Primzahlen sind, daher bilden sie die größte Kategorie auf der Liste der bekannten Primzahlen.

Die Suche und Neugier nach Mersenne-Primzahlen kam aus dem Studium der perfekten Zahlen. Eine perfekte Zahl ist eine Zahl, die sich als Summe ihrer positiven richtigen Teiler schreiben lässt. Zum Beispiel ist 666 eine perfekte Zahl, da sie als 6=1+2+36=1+2+36=1+2+3 geschrieben werden kann, und in der Tat ist sie die kleinste perfekte Zahl. Die nächste perfekte Zahl ist 28=1+2+4+7+1428=1+2+4+7+1428=1+2+4+7+14.

Es kann gezeigt werden, dass wenn eine positive ganze Zahl aaa in der Form 2n-1(2n-1)2^{n-1}(2^{n}-1)2n-1(2n-1) geschrieben werden kann, so dass 2n-12^{n}-12n-1 eine Primzahl ist, dann muss aaa eine gerade perfekte Zahl sein. Wir haben gesehen, dass, wenn 2n-12^{n}-12n-1 eine Primzahl ist, sie eine Mersenne-Primzahl ist, was eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen Mersenne-Primzahlen und geraden perfekten Zahlen schafft. Das heißt, jede Mersenne-Primzahl entspricht genau einer geraden vollkommenen Zahl! (Bisher wurde noch keine ungerade perfekte Zahl gefunden.)

Beweisen Sie, dass, wenn 2n-12^{n}-12n-1 eine Primzahl ist, dann muss nnn auch eine Primzahl sein.

Lassen Sie ppp und qqq positive ganze Zahlen größer als eins sein, so dass n=p⋅qn=p\cdot qn=p⋅q. Dann sei unter Verwendung der Faktorisierungsidentität,

2pq-1=(2p-1)⋅(1+2p+22p+23p+⋯+2p(q-1)).{ 2 }^{ pq }-1=\left( { 2 }^{ p }-1 \right) \cdot \left( 1+{ 2 }^{ p }+{ 2 }^{ 2p }+{ 2 }^{ 3p }+\cdots+{ 2 }^{ p(q-1) } \right). 2pq−1=(2p−1)⋅(1+2p+22p+23p+⋯+2p(q−1)).

Wenn also nnn zusammengesetzt ist und WLOG 1<p<q1<p<q1<p<q, dann haben wir den Term 2n-12^{n}-12n-1, der zusammengesetzt ist, weil er durch den Term 2p-12^{p}-12p-1 teilbar ist. □_\square□

Der Beweis sagt uns, dass wenn 2n-12^{n}-12n-1 prim ist, dann ist nnn auch prim. Aber er garantiert nicht, dass wenn nnn prim ist, dann ist 2n-12^{n}-12n-1 prim, da wir den zweiten Term in der obigen Gleichung nicht berücksichtigt haben. Ein typisches Beispiel dafür ist 11:11:11: Obwohl es eine Primzahl ist, ist 211-1=20472^{11}-1=2047211-1=2047 keine Primzahl.