6 dingen die je waarschijnlijk niet wist' over Pi

Vandaag is het Pi-dag. Je weet wel, 14 maart. 3/14 is zoiets als 3,14. Snap je? Oké, het is een beetje overdreven, want 3/14 lijkt op een breuk en niet op Pi. Maar goed. We noemen het nog steeds pi-dag.

Ook al is de datum van pi-dag een beetje vreemd, Pi is nog steeds geweldig. Hier zijn wat dingen die je misschien nog niet wist over Pi.

Er zijn veel benaderingen voor Pi

Als je een cirkel hebt, kun je twee dingen meten: de afstand rond de omtrek van de cirkel (omtrek) en de afstand over het breedste deel van de cirkel (diameter). Hoe groot je cirkel ook is, de verhouding tussen omtrek en diameter is de waarde van Pi. Pi is een irrationeel getal – je kunt het niet opschrijven als een niet-eindig decimaal getal. Dit betekent dat je een benaderende waarde voor Pi nodig hebt.

Bekijk meer

De eenvoudigste benadering voor Pi is gewoon 3. Ja, we weten allemaal dat dat onjuist is, maar het kan je in ieder geval op weg helpen als je iets met cirkels wilt doen. In het verleden stond in veel wiskundeboeken dat Pi 22/7 was. Ook dit is slechts een benadering, maar het is beter dan de waarde van 3 (eigenlijk ligt 22/7 dichter bij Pi dan gewoon 3,14 schrijven).

In de vroege geschiedenis van de wiskunde komen vele benaderingen van de waarde van Pi voor. De meest gebruikelijke methode zou zijn om een veelhoek te construeren en deze te gebruiken om de omtrek en diameter te berekenen als een schatting voor Pi. Andere culturen hebben manieren gevonden om Pi als een oneindige reeks te schrijven – maar zonder computer is het moeilijk om dit ver uit te rekenen.

U kunt een heleboel cijfers van Pi uitrekenen

Er zijn vele methoden om Pi uit te rekenen, maar ik zal de eenvoudigste behandelen. Het begint met de inverse tangensfunctie. We weten dat de inverse tangens van 1 π/4 is en we kunnen dit gebruiken om Pi te berekenen. Nee, je kunt het niet gewoon in je rekenmachine stoppen en Pi- krijgen – dat veronderstelt dat je Pi al kent. In plaats daarvan moeten we de inverse tangens uitbreiden in een Taylorreeks.

Het basisidee achter de Taylorreeks is dat elke functie op een machtreeks lijkt als je je maar op één deel van die functie concentreert. Zo kan ik de inverse tangens van een waarde (x) voorstellen als een oneindige reeks:

Uitbreiding van deze functie over het punt x = 1 moet gelijk zijn aan π/4. Dit betekent dat we voor π het volgende krijgen: (let op: vaste vergelijking op 3/14/16)

Dat is het. Je kunt nu zo lang als je wilt met deze formule bezig zijn – of je kunt het een computer laten doen. Hier is een programma dat de eerste 10.000 termen in de reeks berekent (druk op play om het uit te voeren):

Bekijk meer

Zie, dat is niet zo moeilijk voor een computer. U kunt echter zien dat zelfs na 10.000 termen de berekende waarde nog steeds verschilt van de geaccepteerde waarde. Dit is niet de beste reeks om Pi- te berekenen – maar dat zei ik al eerder.

Je kunt Pi berekenen met willekeurige getallen

Dit is mijn favoriete Pi-activiteit. Hier is het idee. Genereer paren willekeurige getallen tussen 0 en 1 om willekeurige x,y-coördinaten te creëren. Plot deze punten op een rooster van 1 bij 1 en bereken hun afstand tot de oorsprong. Sommige van deze punten hebben een afstand tot de oorsprong kleiner dan 1 en sommige groter dan 1. De punten met een afstand kleiner dan 1 liggen “binnen een cirkel” — eigenlijk is het een kwart van een cirkel. Dus, door punten binnen de cirkel te tellen ten opzichte van het totaal aantal punten krijg ik een schatting van de oppervlakte van deze cirkel die π/4 moet zijn. Dat is het.

OK, hier is het programma.

Bekijk meer

Je zou hier echt eens mee moeten spelen (want het is leuk). Probeer het aantal punten te veranderen of iets dergelijks. Ik heb een “rate(1000)” statement toegevoegd zodat je kunt zien hoeveel punten er worden toegevoegd. Oh, doe het meer dan een keer–elke keer krijg je een ander resultaat vanwege het willekeurige deel.

Er is een verband tussen Pi en zwaartekracht

Haal je rekenmachine boven. Gebruik 9,8 m/s2 voor de plaatselijke gravitatieconstante (g). Probeer nu dit:

Dat ligt vrij dicht bij de geaccepteerde waarde van Pi—en dat is geen toeval. Het komt van de oorspronkelijke versie van de meter als een eenheid van lengte. Een manier om een meter te definiëren is door een slinger te maken die er 1 seconde over doet om een zwaai te maken (of 2 seconden voor de periode). Als je je herinnert, is er een verband tussen periode en lengte voor een slinger (met een kleine trilamplitude):

Plaat 1 meter voor de lengte en 2 seconden voor de periode en boem–daar is je verband. Hier volgt een uitgebreidere uitleg.

Pi zit in een groep van vijf supergetallen

Dit is de Identiteit van Euler.

Als je die vergelijking niet te gek en geweldig vindt, dan heb je niet goed opgelet. Het legt een verband tussen deze vijf getallen:

• Pi: je weet wel, cirkels en zo.
• e: het natuurlijke getal. Dit getal is erg belangrijk in calculus en andere dingen (hier is mijn uitleg van eerder).
• i: het imaginaire getal. Met dit getal (de vierkantswortel van negatief 1) kunnen we complexe getallen schrijven (combinatie van reëel en imaginair).
• 1: de vermenigvuldigingsidentiteit. Het lijkt misschien gek, maar vermenigvuldigen met één is heel belangrijk – neem maar eens de omrekening van eenheden als voorbeeld.
• 0: de additieve identiteit. Zonder het getal nul heb je geen plaatswaarde en zit je vast aan een getallenstelsel als de Romeinse cijfers.

Maar waarom werkt deze vergelijking dan? Dat is niet zo’n eenvoudig antwoord. Je zou natuurlijk de formule van Euler voor exponentiëlen kunnen gebruiken:

Maar dat is een beetje als magie uitleggen met meer magie. Voor mij is het probleem dat we graag aan getallen denken als echte telbare dingen. Maar je kunt een denkbeeldig getal niet tellen. Je kunt zeggen dat 32 is als 3 groepen van 3, maar hoe zit het met 31,32? Of wat dacht je van 3-3.2i? Die zijn moeilijk voor te stellen. Als je deze Identiteit van Euler nog wilt doorgronden, kijk dan eens op deze site.

152 decimalen van Pi zijn waarschijnlijk genoeg

Stel je een grote bol voor. Als je de diameter van deze grote bol weet, kun je ook de omtrek vinden met behulp van de waarde van Pi. Vervang nu de bol door de diameter van het waarneembare heelal op 93 miljard lichtjaar (ja, ik weet dat dit groter is dan 13 miljard lichtjaar – het is ingewikkeld). Als we de exacte waarde van Pi niet weten, maar een 152 cijfers dan weten we de exacte omtrek niet. De onzekerheid in de omtrek is echter kleiner dan de Planck-lengte–de kleinste eenheid van afstandsmeting die enige betekenis heeft. Je hebt nog minder cijfers van Pi nodig om een onzekerheid in de omtrek te krijgen die kleiner is dan de grootte van een atoom.

Moeten we dan maar ophouden met zoeken naar steeds meer cijfers van Pi? Nee, we moeten blijven zoeken naar een betere schatting van Pi. Hoe dan ook, wie weet wat we nog zullen vinden in de cijfers van Pi. Er is al het Feynman punt waarin er een rij van zes 9-en op een rij staat. En vergeet deze klassieke comic van xkcd niet.

Homework

Wilt u huiswerk voor Pi-dag? OK, hier zijn een paar vragen voor je.

• Vind een beter numeriek recept om de cijfers van Pi te berekenen en doe het (in Python of wat dan ook). Waarschuwing, misschien moet je iets als de decimale module importeren, zodat je veel cijfers kunt weergeven.
• Bereken (of schat) hoeveel cijfers van Pi je nodig hebt om de omtrek van het heelal te berekenen tot op de grootte van 1 atoom.
• Aannemende dat de cijfers van Pi willekeurig zijn, wat is de kans dat je een serie van zeven 9’en op een rij vindt? Hoeveel cijfers zou je moeten berekenen om 50 procent kans te hebben deze zeven negens te zien?
• Ga terug naar de willekeurige getallenberekening voor Pi. Verander het programma zo dat het willekeurige punten in drie dimensies plot in plaats van slechts twee.