De Newtoniaanse gravitatieconstante – een te moeilijk te meten constante? Een inleiding

Het is algemeen aanvaard dat de grootte van de kracht die twee bolvormige lichamen met massa M1 en M2, gescheiden door een afstand r, aantrekt, gegeven wordt door Newtons gravitatiewet

De constante, G, bepaalt de sterkte van Newtons omgekeerd kwadratische wet in een bepaald stelsel van fysische eenheden en staat, niet verrassend, bekend als Newtons gravitatieconstante. Hij wordt beschouwd als een fundamentele natuurconstante. De huidige waarde voor G in de CODATA-aanbevolen waarden van de fundamentele fysische constanten van 2010 is de beste schatting op basis van de op dat moment beschikbare experimentele resultaten en is G=6,67384(80)×10-11 kg-1 m3 s-2. De huidige spreiding van de waarden nadert de 0,05% (of 500 deeltjes per miljoen), hetgeen meer is dan 10 maal de onzekerheden van elke meting, en het blijkt dus dat wij G slechts tot op drie significante cijfers kennen! Dit is zeer slecht in vergelijking met andere natuurkundige constanten, waarvan vele onzekerheden hebben in de orde van delen op 108 en de constante die de elektronische structuur van atomen bepaalt, de Rydberg, een onzekerheid heeft van slechts vier delen op 1012.

Waarom is G zo slecht bekend, waarom hebben recente experimenten zulke sterk uiteenlopende resultaten opgeleverd en hoe moeten we nu te werk gaan om het probleem op te lossen? Dit waren de vragen die aan de orde kwamen tijdens de bijeenkomst op 27 en 28 februari 2014 waarvan de artikelen in dit nummer van de Philosophical Transactions A het verslag zijn.

De zwaartekracht neemt momenteel een bijzondere plaats in de natuurkunde in, omdat het de enige interactie is die niet door een kwantumtheorie kan worden beschreven. De wet van Newton wordt gezien als een benadering van de algemene relativiteit van Einstein, en beide theorieën beschouwen ruimte en tijd als continue klassieke grootheden, terwijl de theorieën die het elektromagnetisme en de kernkrachten beschrijven, gebaseerd zijn op behouden kwanta. De zwaartekracht is ook verreweg de zwakste kracht. Een rechtstreeks gevolg hiervan is dat de energie waarbij alle krachten een vergelijkbare sterkte hebben dicht bij de zogenaamde Planck-schaal ligt, die ongeveer 15 orden van grootte hoger is dan de energieën die momenteel door de Large Hadron Collider worden onderzocht. Dit feit doet vragen rijzen over de geldigheid van het standaardmodel van de deeltjesfysica, aangezien wordt aangenomen dat deze theorie niet stabiel kan zijn in aanwezigheid van een dergelijke immense fundamentele energieschaal. Anderzijds is ons vertrouwen in de Newtoniaanse en Einsteiniaanse zwaartekracht het resultaat van zorgvuldig gecontroleerde experimenten. De universaliteit van de vrije val is een empirisch fundament van Einsteins zwaartekrachtstheorie en stelt dat de vrije versnelling van materie in een zwaartekrachtsveld niet afhangt van de chemische samenstelling ervan. Laboratoriumproeven van de universaliteit van de vrije val en Newtons omgekeerde kwadratenwet op een schaal van minder dan 1 m maken gebruik van dezelfde meetapparatuur en -technieken als die welke worden gebruikt bij de bepaling van G, zoals wij hieronder nader beschrijven. Om echter de gevoeligste proeven te kunnen doen en de metrologie te ontlasten, zijn deze experimenten zo opgezet dat zij alleen een substantieel signaal geven als de natuur zich misdraagt op de door de experimentatoren gewenste manier. Bij de bepaling van G moeten we eigenlijk alle relevante grootheden in fysische eenheden meten en de metrologie frontaal aanpakken.

De feitelijke numerieke waarde van G is in de natuurkunde van weinig belang: van de banen van de planeten in ons zonnestelsel is bekend dat zij nauwkeurig de wet van Newton volgen. De baanversnelling van een planeet rond de zon wordt bijvoorbeeld met grote nauwkeurigheid bepaald door het product van de massa van de zon en G. Als we dus een nieuwe waarde voor G vinden die bijvoorbeeld 0,05% groter is dan de waarde die in de schoolboeken wordt gegeven, vermindert dat gewoon onze schatting van de massa van de zon met dit bedrag. Op dit moment hebben we geen modellen voor de structuur van de zon die de massa van de zon op dit niveau bruikbaar beperken.

Het mystieke wordt nog versterkt door het feit dat de zwaartekracht de kracht is waarmee wij als mensen op aarde het meest vertrouwd zijn. Het is niet verwonderlijk dat berichten in de media over aanzienlijke discrepanties tussen experimentele bepalingen van de waarde van Newtons constante van de zwaartekracht tot de publieke verbeelding kunnen spreken, zoals de publicatie van ons resultaat in oktober 2013 deed.

Wat er dan toe doet is niet de werkelijke waarde van G zelf (geef of neem een percentage of zo), maar de onzekerheid ervan. Het echte belang van de nauwkeurigheid van G is waarschijnlijk dat het kan worden genomen als een maatstaf, in de populaire cultuur, van hoe goed we onze meest bekende kracht begrijpen: de afwijkende resultaten kunnen duiden op een aantal nieuwe fysica, of ze kunnen aantonen dat we de metrologie van het meten van zwakke krachten niet begrijpen. Door het gebrek aan theoretisch begrip van de zwaartekracht, waarnaar eerder al verwezen werd, is er een overvloed aan respectabele theorieën die schendingen van de omgekeerde kwadratische wet of schendingen van de universaliteit van de vrije val voorspellen. Er is zelfs een groeiende opvatting dat G niet werkelijk universeel is en bijvoorbeeld op astrofysische schalen afhankelijk kan zijn van de materiedichtheid. Een verkeerd begrip van de metrologie van de zwakke-krachtenfysica kan op zijn beurt impliceren dat de experimentele proeven die tot dusver de omgekeerde kwadratische wet en de universaliteit van de vrije val hebben vastgesteld, op de een of andere subtiele wijze gebreken vertonen. Dit is een potentieel opwindende situatie en verklaart misschien de algemene belangstelling voor ons ogenschijnlijk alledaagse en nauwgezette werk aan G.

Op het moment van Newton, en zelfs tot in de negentiende eeuw, bestond het concept van een fundamentele constante niet. Newton drukte zijn zwaartekrachtswet niet expliciet uit met een constante G; de aanwezigheid ervan werd geïmpliceerd alsof deze een waarde had gelijk aan 1. Pas in 1873 introduceerden Cornu en Bailey expliciet een symbool voor de koppelingsconstante in Newtons zwaartekrachtswet, zij noemden deze in feite f. Pas ergens in de jaren 1890 kreeg deze zijn huidige naam G.

De ontwikkeling van het concept van fundamentele constanten was nauw verbonden met de ontwikkeling van stelsels van natuurkundige eenheden. Het internationale stelsel van eenheden (SI) zal vanaf 2018 gebaseerd zijn op vaste numerieke waarden van zeven fundamentele constanten, waaronder de lichtsnelheid en de constante van Planck, de laatste die voorkomt in de nieuwe definitie van de kilogram. Kunnen we de kilogram niet definiëren in termen van G? De kilogram is bijvoorbeeld de eenheid van massa, waarvan de grootte wordt bepaald door de numerieke waarde van G gelijk te stellen aan 6,67384…×10-11 kg-1 m3 s-2exact. In principe zou dit kunnen, maar het probleem zou zijn dat elke praktische meting van de massa van een voorwerp in termen van zijn gravitationele aantrekkingskracht op een ander voorwerp een precisie zou hebben van slechts enkele delen op 104. Dit is ongeveer vier orden van grootte verwijderd van de precisie die we echt nodig hebben in onze massastandaarden. Hoe komt dat? Het belangrijkste antwoord is eenvoudigweg dat de zwaartekracht te zwak is op de schaal van laboratoriummassa’s om met de vereiste nauwkeurigheid te kunnen worden gemeten. De zwaartekracht tussen een paar koperen bollen van 1 kg die elkaar maar net raken, is ongeveer een miljardste van het gewicht van elk van beide, d.w.z. ongeveer 10-8 N. Om deze kracht te kunnen meten, moet een manier worden gevonden om de overweldigende neerwaartse kracht van de zwaartekracht op beide bollen teniet te doen.

Een bijna perfecte oplossing werd tegen het eind van de achttiende eeuw gevonden door ds. John Michell, die de torsiebalans uitvond. Door twee aan het eind van de arm van de torsiebalans hangende bollen (die wij nu de proefmassa’s noemen) te laten balanceren aan een lange dunne koperen torsiedraad, realiseerde hij zich dat de neerwaartse zwaartekracht wordt geneutraliseerd, waardoor de hangende bollen gevoelig blijven voor een zijwaartse zwaartekracht die wordt opgewekt door twee veel grotere bollen (de bronmassa’s) die kunnen worden bewogen om een positieve en negatieve draaiing van de balans teweeg te brengen. De torsieconstante, c, van de draad kan worden gevonden door de vrije trillingsperiode (2π/ω) van de torsiemassa te meten en de eenvoudige relatie c=Iω2 te gebruiken, waarbij I het traagheidsmoment is om de verticale as die door de torsiedraad wordt voorgesteld. Het apparaat werd na Michells dood in gebruik genomen door Henry Cavendish om G te meten. Zijn publicatie uit 1798 beschrijft tot in de kleinste details, waarschijnlijk het eerste precisie-experiment in de natuurkunde en de ‘Cavendish’ torsiebalans was een van de belangrijkste fysische apparaten die ooit zijn uitgevonden. In een compilatie van gepubliceerd werk over het meten van de gravitatieconstante, somde Gillies ongeveer 350 artikelen op die bijna allemaal verwezen naar werk dat was uitgevoerd met een torsiebalans. Van het tiental experimenten dat de afgelopen 30 jaar is uitgevoerd, zijn er op twee of drie na allemaal uitgevoerd met torsiebalansen. Ze zijn niet beschermd door houten kisten zoals bij Cavendish, maar door vacuümkamers, maar het basisprincipe om de minieme zwaartekracht te scheiden van de neerwaartse kracht van de zwaartekracht is dat uitgevonden door Michell.

De artikelen in dit nummer laten moderne torsiebalansen zien en ook nieuwe methoden om G te meten die niet op de torsiebalans zijn gebaseerd. Gemeenschappelijk is de eis om nauwkeurige metingen te verrichten van massa, lengte en tijd (de eenheid van G is kg-1 m3 s-2) en vaak ook van hoek, waarvan de eenheid natuurlijk maat 1 is. De sleutel tot al het werk is de evaluatie van de onzekerheid en in de meeste documenten neemt dit een belangrijke plaats in. Ook bij de evaluatie van de resultaten die leiden tot een schatting van de beste waarde, is de vergelijkende studie van de onzekerheden de centrale taak van de CODATA Task Group on Fundamental Constants.

De uitkomst van de discussie na de presentatie van de papers op de bijeenkomst van de Royal Society was heel duidelijk en wordt aan het eind van dit nummer gegeven. Het was duidelijk dat nog een of twee bepalingen van G door afzonderlijke groepen het probleem niet zouden oplossen. In plaats daarvan werd gepleit voor een gecoördineerde internationale inspanning waarbij een klein aantal experimenten zou worden uitgevoerd die elk in detail zouden worden gevolgd door een internationale adviesraad bestaande uit diegenen die reeds ervaring hadden met dergelijke werkzaamheden.

Voetnoten

†Emeritus Directeur BIPM.

Een bijdrage van 13 aan een Theo Murphy Meeting Issue ‘The Newtonian constant of gravitation, a constant too difficult to measure?’