Euclidische meetkunde

Fundamenten

Euclides realiseerde zich dat een rigoureuze ontwikkeling van de meetkunde moest beginnen bij de fundamenten. Daarom begon hij de Elementen met enkele ongedefinieerde termen, zoals “een punt is datgene wat geen deel heeft” en “een lijn is een lengte zonder breedte”. Uitgaande van deze begrippen definieerde hij verdere ideeën zoals hoeken, cirkels, driehoeken en verschillende andere veelhoeken en figuren. Een hoek werd bijvoorbeeld gedefinieerd als de helling van twee rechte lijnen, en een cirkel was een vlakke figuur bestaande uit alle punten die een vaste afstand (straal) tot een gegeven middelpunt hebben.

Als basis voor verdere logische gevolgtrekkingen stelde Euclides vijf algemene begrippen voor, zoals “dingen die gelijk zijn aan hetzelfde zijn gelijk”, en vijf onbewijsbare maar intuïtieve principes die bekend staan als postulaten of axioma’s. In moderne termen luiden de axioma’s als volgt:

• 1. Gegeven twee punten, is er een rechte lijn die ze verbindt.
• 2. Een lijnstuk kan oneindig worden verlengd.
• 3. Een cirkel kan worden geconstrueerd als een punt voor het middelpunt en een afstand voor de straal zijn gegeven.
• 4. Alle rechte hoeken zijn gelijk.
• 5. Als een rechte lijn die op twee rechte lijnen valt de binnenhoeken aan dezelfde zijde kleiner maakt dan twee rechte hoeken, zullen de twee rechte lijnen, als ze oneindig worden voortgebracht, elkaar ontmoeten aan die zijde waarop de hoeken kleiner zijn dan de twee rechte hoeken.

Hilbert verfijnde de axioma’s (1) en (5) als volgt:

• 1. Voor twee verschillende punten bestaat (a) een lijn die deze twee punten bevat, en (b) deze lijn is uniek.
• 5. Voor elke lijn L en elk punt p dat niet op L ligt, (a) bestaat er een lijn door p die niet aan L grenst, en (b) deze lijn is uniek.

Het vijfde axioma werd bekend als het “parallellenpostulaat”, omdat het een basis verschafte voor de uniciteit van parallelle lijnen. (Het trok ook veel belangstelling omdat het minder intuïtief of vanzelfsprekend leek dan de andere axioma’s.) In de 19e eeuw begonnen Carl Friedrich Gauss, János Bolyai en Nikolaj Lobachevsky met dit postulaat te experimenteren en kwamen zij uiteindelijk tot nieuwe, niet-Euclidische meetkunde). Alle vijf axioma’s vormden de basis voor talrijke bewijsbare stellingen, of theorema’s, waarop Euclides zijn meetkunde bouwde. In de rest van dit artikel worden de belangrijkste stellingen van de Euclidische vlakke en vaste meetkunde kort uitgelegd.