Exponentiële vergelijkingen oplossen met logaritmen

Vanuit de definitieMet logaritmenMet rekenmachines

Purplemath

De meeste exponentiële vergelijkingen lossen niet netjes op; Er is geen manier om de grondslagen om te zetten zodat ze hetzelfde zijn, zoals de omzetting van 4 en 8 in machten van 2. Bij het oplossen van deze meer gecompliceerde vergelijkingen zul je logaritmen moeten gebruiken.

Het nemen van logaritmen stelt ons in staat om te profiteren van de logregel die zegt dat machten binnen een log naar voren kunnen worden geschoven als vermenigvuldigers. Door de log van een exponentiaal te nemen, kunnen we de variabele (die in de exponent zit die nu in een log zit) naar voren schuiven, als een vermenigvuldiger op de log. Met andere woorden, de logregel laat ons de variabele weer naar beneden verplaatsen, waar we hem kunnen pakken.

Bijvoorbeeld:

Als deze vergelijking me had gevraagd “Los 2x = 32 op”, dan was het vinden van de oplossing eenvoudig geweest, want ik had de 32 kunnen omrekenen naar 25, de exponenten gelijk kunnen stellen, en kunnen oplossen voor “x = 5”. Maar, in tegenstelling tot 32, is 30 geen macht van 2, dus kan ik machten niet aan elkaar gelijk stellen. Ik heb een andere methode nodig om bij de x te komen, want ik kan de vergelijking niet oplossen met de variabele zwevend boven de 2; ik moet hem terug op de grond hebben, waar hij hoort, waar ik er bij kan. En ik zal logaritmen moeten gebruiken om die variabele naar beneden te halen.

Bij vergelijkingen kan ik doen wat ik wil, zolang ik aan beide kanten maar hetzelfde doe. En, om een vergelijking op te lossen, moet ik de variabele zelf aan een kant van het “gelijk”-teken krijgen; om de variabele te isoleren, moet ik “ongedaan maken” wat er met de variabele is gedaan.

In dit geval is de variabele x in de exponent gezet. De achterwaartse (technisch gezien, de “inverse”) van exponentialen zijn logaritmen, dus moet ik de exponent ongedaan maken door de log van beide zijden van de vergelijking te nemen. Dit is nuttig voor mij vanwege de logregel die zegt dat exponenten binnen een log kunnen worden veranderd in vermenigvuldigers voor de log:

Als ik de log van beide zijden van een vergelijking neem, kan ik elke log gebruiken die ik wil (base-10 log, base-2 log, natuurlijke log, enz), maar sommige zijn soms nuttiger dan andere. Aangezien de basis in de vergelijking “2x = 30” “2” is, zou ik kunnen proberen een log van basis-2 te gebruiken:

Elke log van de basis van de log geeft een waarde van 1, dus log2(2) = 1. Dan:

Content Continues Below

x = log2(30)

Herinnering: De “ln” is de afkorting van “logarithmus naturalis”, de Latijnse versie van wat in het Engels “natural log” is geworden. De afkorting wordt uitgesproken als “ell-enn” en geschreven met een kleine letter “L” gevolgd door een kleine letter “N”. Er zit geen “I” (“eye”) in de functienaam!

2x = 30

ln(2x) = ln(30)

x – ln(2) = ln(30)

Affiliate

Omdat 212 geen macht van 5 is, zal ik logs moeten gebruiken om deze vergelijking op te lossen. Ik zou van elke zijde de log van basis 5 kunnen nemen, oplossen, en dan de formule voor verandering van basis toepassen, maar ik denk dat ik liever gewoon de natuurlijke log gebruik:

Omdat 52 geen macht van 10 is, zal ik logs moeten gebruiken om dit op te lossen. Aangezien in dit geval de basis 10 is en logs van basis-10 op de rekenmachine kunnen worden uitgevoerd, zal ik de gewone log gebruiken in plaats van de natuurlijke log om deze specifieke vergelijking op te lossen:

Voordat ik naar de exponentiaal kan gaan kijken, moet eerst de 3 eraf, dus die deel ik af om te krijgen:

Omdat

geen macht van 2 is, zal ik logs moeten gebruiken. In dit geval gebruik ik de natuurlijke log: