Hoe ontwerp je een eeuwigdurende energiemachine

De getoonde meetkundige figuur is als volgt geconstrueerd. E1 en E2 zijn doorsneden van twee concentrische ellipsen met brandpunten in de punten A en B. S1 en S2 zijn cirkelbogen met middelpunt B. Omdat het cirkelbogen zijn, is elke rechte lijn van B naar S1 of S2 een straal en dus normaal aan het binnenoppervlak. Deze hele figuur is een doorsnede van een hol voorwerp dat ontstaat door het omwentelingsvlak van de vlakke figuur. De binnenzijde van dit voorwerp is verzilverd en 100% reflecterend (of zo dicht als praktisch mogelijk is). Bij A en B zijn kleine bolvormige blackbodies, gemaakt van thermo-elektrisch materiaal. Zij hebben elk dunne draden die naar de batterijaansluitingen buiten leiden. De hele constructie is volledig afgesloten.

Het volgende zijn allemaal ware uitspraken over de fysica van deze blackbodies – onderzoek ze zorgvuldig.

• Een uniform bolvormig blackbody straalt lichtenergie in alle richtingen gelijkelijk uit, uitsluitend afhankelijk van zijn temperatuur: Hoe heter het is, hoe meer energie het uitstraalt.
• Een blackbody absorbeert al het licht dat erop valt. Hoe meer energie zij absorbeert, hoe hoger haar temperatuur wordt.
• Lichtstralen reizen in grote macroscopische voorwerpen voor alle praktische doeleinden in perfecte rechte lijnen, omdat hun golflengten in vergelijking daarmee uiterst klein zijn. In dit geval kan het gehele voorwerp zo groot worden gemaakt als nodig is om eventuele kwantumeffecten te minimaliseren die lichtstralen van rechte lijnen zouden kunnen doen afwijken, zodat deze mogelijkheid effectief kan worden genegeerd.
• Op grond van elementaire optica en geometrie worden lichtstralen die afkomstig zijn uit het middelpunt van een holle reflecterende bol, door het binnenoppervlak naar het middelpunt teruggekaatst.
• Ook volgens de elementaire optica en meetkunde worden lichtstralen die afkomstig zijn van het ene brandpunt van een holle spiegelende ellipsoïde door zijn binnenoppervlak naar het andere brandpunt teruggekaatst.
• Als twee lichamen van verschillende temperatuur gemaakt zijn van de juiste thermo-elektrische materialen en in een elektrische stroomkring met elkaar zijn verbonden, zal hun spanningsverschil een elektrische stroom in de stroomkring veroorzaken.

Nu kijken we naar de geometrie van de structuur. Alle stralen afkomstig uit punt A zullen op E1 of E2 botsen en naar het andere brandpunt, B, worden gericht. De geometrie is zodanig dat geen enkele straal van de blackbody bij A op de bogen S1 of S2 zal vallen. 100% van de straling afkomstig van het blackbody in A zal dus terechtkomen op en geabsorbeerd worden door het blackbody in B. Op dezelfde manier zullen stralen afkomstig van punt B die terechtkomen op E1 en E2 weerkaatst worden naar A. Een aanzienlijk deel van de stralen afkomstig van B zal echter terechtkomen op S1 of S2 en weerkaatst worden naar B. Laten we zeggen dat dit aandeel 20% is. Dus als de blackbodies beginnen bij dezelfde temperatuur en elk 100 stralen van gelijke energie per tijdseenheid uitzenden, zal B 120 stralen ontvangen en absorberen, terwijl A slechts 80 stralen zal ontvangen en absorberen. Dus zal zwart lichaam B opwarmen ten opzichte van zwart lichaam A. Als we de batterijpolen buiten met elkaar verbinden, zal er een bruikbare stroom tussen hen vloeien tot de temperatuur van de zwartlichamen gelijk is. Als hun temperaturen niet gelijk zijn, zal de stroom eeuwig blijven lopen. Maar zoals we zagen, is de conditie van gelijke temperatuur onstabiel: Zelfs als deze voorwaarde ooit wordt bereikt, zal object B opnieuw opwarmen ten opzichte van A vanwege de geometrie, en de stroom zal blijven vloeien. In feite hebben we dan een onuitputtelijke bron van energie!

Werkt deze onuitputtelijke batterij zoals voorspeld? Waarom wel of waarom niet?

Paradox 2

Bedenk de volgende voorwaarden:

1. De oplossing van deze Insights column zal zeker in mei in Quanta worden gepubliceerd.
2. Als we voor dit probleem een week definiëren als beginnend op maandag en eindigend op zondag, dan zal elke dag in mei in een van de vijf afzonderlijke weken vallen (een gedeeltelijke week gevolgd door vier volledige weken). Ik verklaar met zekerheid dat u niet in staat zult zijn te voorspellen in welke van deze vijf afzonderlijke weken de oplossingscolumn zal worden gepubliceerd.

Nou, zoals we weten, zijn Quanta-lezers een briljant stel. Stel dat een lezer als volgt redeneert: “Als de column aan het eind van de vierde week nog niet is gepubliceerd, kan ik met zekerheid voorspellen dat hij in de vijfde week zal worden gepubliceerd. Daarom kan hij niet in de vijfde week worden gepubliceerd. Maar als hij niet in de vijfde week kan worden gepubliceerd, dan kan ik, als hij aan het eind van de derde week nog niet is gepubliceerd, er zeker van zijn dat hij in de vierde week zal worden gepubliceerd. Daarom kan het niet in de vierde week worden gepubliceerd. Nu kan ik dezelfde seriële logica toepassen om te bewijzen dat de oplossing niet kan worden gepubliceerd in de derde, tweede of eerste week. Daarom kan de oplossing helemaal niet worden gepubliceerd!”

OMG, dit brengt me in een verschrikkelijke situatie! Mijn redacteur zal er zeker niet blij mee zijn. Is deze redenering steekhoudend? Waarom wel of waarom niet? Wat als er een minieme kans is (zeg 0,001) dat de column helemaal niet gepubliceerd wordt (we krijgen allemaal COVID-19, of het financiële systeem stort in en er kunnen geen bedrijfsactiviteiten plaatsvinden)? Stel dat “zekerheid” nu betekent “99% of meer kans dat je gelijk hebt”. Verandert dat de conclusie?

Paradoxen zijn leuk om over na te denken, omdat ze vaak ofwel verkeerde denkgewoonten ofwel onjuiste verwachtingen blootleggen. Ze kunnen dus heel leerzaam zijn. Wat is volgens jou de belangrijkste mentale fout, als die er al is, in deze twee paradoxen? Ik zou ook graag uw favoriete paradoxen horen.

Happy puzzling!

Mededeling van de redacteur: De lezer die de meest interessante, creatieve of inzichtelijke oplossing (zoals beoordeeld door de columnist) in de commentaarsectie indient, ontvangt een Quanta Magazine T-shirt of een van de twee Quanta boeken, Alice and Bob Meet the Wall of Fire of The Prime Number Conspiracy (de winnaar mag kiezen). En als je een favoriete puzzel wilt voorstellen voor een toekomstige Insights column, stuur hem dan in als commentaar hieronder, duidelijk gemarkeerd met “NIEUWE PUZZEL SUGGESTIE”. (Het zal niet online verschijnen, dus oplossingen voor de bovenstaande puzzel moeten apart worden ingediend). Update: De oplossing is hier gepubliceerd.