Hoe vind je de verticale asymptoten van een functie?

In dit artikel gaan we het hebben over het gevreesde A-woord, asymptoot. Mijn ervaring is dat studenten vaak blijven hangen in deze term en denken dat dit soort problemen onmogelijk zijn. Maar met een goed begrip van de concepten, en een paar algebraïsche technieken in je gereedschapskist, is het niet al te moeilijk om de verticale asymptoten van een functie te vinden.

De soorten asymptoten

Er zijn drie soorten asymptoten: horizonale, verticale en schuine. Dit artikel richt zich op de verticale asymptoten. Horiztonale asymptoten worden elders besproken, en schuine asymptoten zie je zelden bij het AP-examen (voor meer informatie over schuine asymptoten, zie dit artikel en deze nuttige video).

Verticale asymptoten

Een verticale asymptoot (of afgekort VA) voor een functie is een verticale lijn x = k die aangeeft waar een functie f(x) onbegrensd wordt. Met andere woorden, de y-waarden van de functie worden willekeurig groot in positieve zin (y→ ∞) of negatieve zin (y→ -∞) naarmate x dichter bij k komt, hetzij van links hetzij van rechts.

Een verticale asymptoot is als een “stenen muur” waar de functie niet overheen kan. Stel je voor dat je in een vliegtuig vliegt en voor je zie je een enorme berg. Als je niet links of rechts om de berg heen kunt, wat zou je dan doen? Je zou waarschijnlijk naar boven vliegen om te voorkomen dat je hem raakt. Stel je nu voor dat die berg verticaal is en oneindig hoog. Dan zou je oneindig hoog kunnen vliegen om te voorkomen dat je de berg raakt, en toch nooit over de berg heen komen!

Een functie kan een willekeurig aantal verticale asymptoten hebben, of helemaal geen. Sommige functies hebben zelfs oneindig veel VA’s. De grafiek hieronder heeft verticale asymptoten bij x = -3 en x = 1.

Omdat het in de definitie gaat om variabelen die vaste waarden naderen, mag het geen verrassing zijn dat er op de een of andere manier limieten bij betrokken moeten zijn. De precieze definitie van een verticale asymptoot luidt als volgt. We zeggen dat x = k een VA is voor een functie f(x) als ofwel de linker- ofwel de rechterlimiet tot x = k oneindig is:

Vinden van verticale asymptoten

Er zijn twee belangrijke manieren om verticale asymptoten te vinden voor problemen op het AP-examen Calculus AB, grafisch (uit de grafiek zelf) en analytisch (uit de vergelijking van een functie). We zullen het over beide hebben.

Verticale asymptoten bepalen uit de grafiek

Als er een grafiek gegeven is, zoek dan naar breuken in de grafiek. Als het lijkt alsof een tak van de functie naar verticaal draait, dan heb je waarschijnlijk te maken met een VA. Het helpt om een verticale lijn te trekken op de x-waarde waar je denkt dat de asymptoot zou moeten zijn (zie de grafiek hierboven). Let op, als een deel van de grafiek je verticale lijn raakt, dan is die lijn toch geen asymptoot.

Verticale asymptoten bepalen uit de vergelijking

Als je bij het AP-examen verticale asymptoten moet vinden, dan krijg je waarschijnlijk geen grafiek. Je zult dus moeten weten waar je in de vergelijking van de functie zelf naar moet zoeken. Vraag jezelf af, waar heeft deze functie een oneindige limiet? We zullen zien hoe dit van toepassing is op twee verschillende soorten functies, rationale functies en goniometrische functies.

Verticale asymptoten in rationale functies

Als je functie rationaal is, dat wil zeggen, als f(x) de vorm heeft van een breuk, f(x) = p(x) / q(x), waarin zowel p(x) als q(x) veeltermen zijn, dan volgen we deze twee stappen:

1. Factor zowel de teller (boven) als de noemer (onder). Dit is heel belangrijk, want als er factoren wegvallen, dragen ze niet bij aan de verticale asymptoten.

2. Als je rationale functie volledig is gereduceerd, kijk dan naar de factoren in de noemer. Als er een factor is met (x – a), dan is x = a een VA. Als er een factor is met (x + a), dan is x = -a een VA. Merk op dat het teken beide keren tegengesteld lijkt te zijn (net als bij het oplossen van een ontbonden veelterm die gelijkgesteld is aan nul).

Practice Finding Vertical Asymptotes

Laten we eens zien hoe onze methode werkt. Vind de verticale asymptoot(en) van elke functie.

Oplossingen:
(a) Eerste factor en opheffen.

Omdat de factor x – 5 geannuleerd is, draagt deze niet bij aan het eindantwoord. Alleen x + 5 blijft onderaan over, wat betekent dat er een enkele VA is bij x = -5.

(b) Deze keer zijn er geen annuleringen na ontbinding in factoren.

We vinden twee verticale asymptoten, x = 0 en x = -2.

Verticale asymptoten voor Trigonometrische Functies

De methode van ontbinden in factoren geldt alleen voor rationale functies. Veel andere soorten functies hebben echter verticale asymptoten. Misschien wel de belangrijkste voorbeelden zijn de trigonometrische functies. Van de zes standaard trigonometrische functies hebben er vier verticale asymptoten: tan x, cot x, sec x, en csc x. In feite heeft elk van deze vier functies er oneindig veel!

Bijv. f(x) = cot x heeft een VA bij elk geheel veelvoud van π. Met andere woorden, x = n π is een VA voor elke n = 0, ±1, ±2, ±3, …

Het gebruik van uw grafische rekenmachine

Meer algemene functies zijn wellicht moeilijker te kraken. Als je aan een deel van het examen werkt waarbij een grafische rekenmachine is toegestaan, kun je gewoon een grafiek van de functie maken en proberen de breuken in de grafiek te vinden waar de y-waarden onbegrensd worden. Sommige rekenmachines, zoals de TI-84, hebben zelfs een optie genaamd detect asymptotes, die automatisch een grafiek van de VA’s maakt. Wees wel voorzichtig; als je kijkvenster te klein is, dan kun je een VA missen.

Conclusie

Asymptoten zijn gewoon bepaalde lijnen die ons iets vertellen over het gedrag van functies. Een verticale asymptoot geeft aan waar de functie een oneindige limiet heeft (onbegrensde y-waarden). Het is belangrijk om de VA’s op een gegeven grafiek te kunnen herkennen en ze ook analytisch te vinden uit de vergelijking van de functie. Uw grafische rekenmachine kan u ook helpen. Met een beetje tijd en oefening zijn deze technieken gemakkelijk onder de knie te krijgen, en zo hoeven verticale asymptoten niet de “stenen muur” te zijn die je ervan weerhoudt ver te komen op het AP Calculus examen!