Mersenne-priem

Een Mersenne-priem is een priemgetal dat kan worden geschreven in de vorm 2n-12^{n}-12n-1. Bijvoorbeeld 313131 is een Mersenne-priemgetal dat kan worden geschreven als 25-12^{5}-125-1. De eerste paar Mersenne-priemgetallen zijn 3,7,31,127,81913, 7, 31, 127, 81913,7,31,127,8191. Er zijn 50 Mersenne priemgetallen bekend vanaf juni 2018, hoewel we hopen dat dit in de toekomst zal veranderen. Een interessant ding over Mersenne-priemgetallen is dat het de gemakkelijkste natuurlijke getallen zijn om te bewijzen dat ze priemgetallen zijn, dus ze vormen de grootste categorie op de lijst van bekende priemgetallen.

De zoektocht en nieuwsgierigheid naar Mersenne-priemgetallen kwam voort uit de studie van perfecte getallen. Een perfect getal is een getal dat kan worden geschreven als de som van zijn positieve eigen delers. Zo is 666 een perfect getal omdat het kan worden geschreven als 6=1+2+36=1+2+36=1+2+3, en het is in feite het kleinste perfecte getal. Het volgende perfecte getal is 28=1+2+4+7+1428=1+2+4+7+1428=1+2+4+7+14.

Het kan worden aangetoond dat als een positief geheel getal aaa kan worden geschreven in de vorm 2n-1(2n-1)2^{n-1}(2^{n}-1)2n-1(2n-1), zodanig dat 2n-12^{n}-12n-1 een priemgetal is, dan moet aaa een even perfect getal zijn. We hebben gezien dat als 2n-12^{n}-12n-1 een priemgetal is, het een Mersenne-priemgetal is, wat een één-op-één correspondentie creëert tussen Mersenne-priemgetallen en even perfecte getallen. Dat wil zeggen dat elk Mersenne-priemgetal correspondeert met precies één even volmaakt getal! (Tot nu toe is er nog geen oneven perfect getal gevonden.)

bewijs dat als 2n-12^{n}-12n-1 priem is, nnn ook priem moet zijn.

Laat ppp en qqq positieve gehele getallen groter dan 1 zijn zodat n=p⋅qn=p\cdot qn=p⋅q. Gebruik dan de factorisatie-identiteit,

2pq-1=(2p-1)⋅(1+2p+22p+23p+⋯+2p(q-1)).{ 2 }^{ pq }-1= { 2 }^{ p }-1 \right) \cdot \left( 1+{ 2 }^{ p }+{ 2 }^{ 2p }+{ 2 }^{ 3p }+{ 2 }^{ 3p }+{ 2 }^{ p(q-1) } \.) 2pq−1=(2p−1)⋅(1+2p+22p+23p+⋯+2p(q−1)).

Dus als nnn samengesteld is en WLOG 1<p<q1<p<q1<p<q, dan is de term 2n-12^{n}-12n-1 samengesteld omdat hij deelbaar is door de term 2p-12^{p}-12p-1. □_kwadraat□

Het bewijs vertelt ons dat als 2n-12^{n}-12n-1 priem is, dan is nnn ook priem. Maar het garandeert niet dat als nnn priem is, 2n-12^{n}-12n-1 ook priem is, want we hebben de tweede term in bovenstaande vergelijking buiten beschouwing gelaten. Een typisch voorbeeld hiervan is 11:11:11: ook al is het een priemgetal, 211-1=20472^{11}-1=2047211-1=2047 is geen priemgetal.