Vergelijking Darcy-Weisbach

De wrijvingsfactor fD is geen constante: hij hangt onder andere af van de eigenschappen van de buis (diameter D en ruwheidshoogte ε), de eigenschappen van de vloeistof (de kinematische viscositeit ν ), en de stroomsnelheid van de vloeistof ⟨v⟩. Het is met grote nauwkeurigheid gemeten binnen bepaalde stromingsregimes en kan worden geëvalueerd met behulp van diverse empirische relaties, of het kan worden afgelezen van gepubliceerde grafieken. Deze diagrammen worden vaak Moody-diagrammen genoemd, naar L.F. Moody, en vandaar dat de factor zelf soms abusievelijk de Moody-wrijvingsfactor wordt genoemd. Hij wordt ook wel eens de Blasius wrijvingsfactor genoemd, naar de benaderende formule die hij voorstelde.

Figuur 1 toont de waarde van fD zoals gemeten door experimentatoren voor veel verschillende vloeistoffen, over een breed bereik van Reynoldsgetallen, en voor pijpen met verschillende ruwheidshoogten. Er zijn drie grote stromingsregimes die in deze gegevens worden aangetroffen: laminaire, kritische en turbulente stroming.

Laminaire regimeEdit

Voor laminaire (gladde) stromingen is het een gevolg van de wet van Poiseuille (die voortkomt uit een exacte klassieke oplossing voor de vloeistofstroming) dat

f D = 64 R e , {displaystyle f_{\mathrm {D} }={\frac {64}{\mathrm {Re}

waarbij Re het getal van Reynolds is

R e = ρ μ ⟨ v ⟩ D = ⟨ v ⟩ D ν , {{\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho }{\mu }} ⟨ v ⟩ D={\frac {\mathrm {Re}},

en waarbij μ de viscositeit van de vloeistof is en

ν = μ ρ {\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}

is bekend als de kinematische viscositeit. In deze uitdrukking voor het getal van Reynolds wordt als karakteristieke lengte D de hydraulische diameter van de pijp genomen, die voor een volstromende cilindrische pijp gelijk is aan de binnendiameter. In de figuren 1 en 2 van wrijvingsfactor versus Reynoldsgetal toont het regime Re < 2000 laminaire stroming; de wrijvingsfactor wordt goed weergegeven door bovenstaande vergelijking.

In feite is het wrijvingsverlies in het laminaire regime nauwkeuriger gekarakteriseerd als zijnde evenredig met de stroomsnelheid, in plaats van evenredig met het kwadraat van die snelheid: men zou de Darcy-Weisbach-vergelijking kunnen beschouwen als niet werkelijk van toepassing in het laminaire stromingsregime.

In laminaire stroming ontstaat wrijvingsverlies door de overdracht van momentum van de vloeistof in het midden van de stroming naar de pijpwand via de viscositeit van de vloeistof; er zijn geen wervelingen in de stroming aanwezig. Merk op dat het wrijvingsverlies ongevoelig is voor de ruwheid van de pijp ε: de stroomsnelheid in de buurt van de pijpwand is nul.

Kritisch regimeEdit

Voor Reynoldsgetallen in het bereik 2000 < Re < 4000 is de stroming onstabiel (varieert sterk met de tijd) en varieert van de ene sectie van de pijp tot de andere (is niet “volledig ontwikkeld”). De stroming impliceert de beginnende vorming van wervelingen; zij wordt niet goed begrepen.

Turbulent regimeEdit

Voor Reynoldsgetallen groter dan 4000 is de stroming turbulent; de stromingsweerstand volgt de Darcy-Weisbach-vergelijking: deze is evenredig met het kwadraat van de gemiddelde stroomsnelheid. Over een gebied van vele orden van grootte van Re (4000 < Re < 108) varieert de wrijvingsfactor minder dan één orde van grootte (0,006 < fD < 0,06). Binnen het turbulente stromingsregime kan de aard van de stroming verder worden onderverdeeld in een regime waarbij de pijpwand effectief glad is, en een regime waarbij de ruwheidshoogte opvallend is.

Regime met gladde pijp

Wanneer het pijpoppervlak glad is (de “gladde pijp”-curve in figuur 2), kan de variatie van de wrijvingsfactor met Re worden gemodelleerd met de Kármán-Prandtl-weerstandsvergelijking voor turbulente stroming in gladde pijpen, waarbij de parameters naar behoren zijn aangepast

1 f D = 1.930 log ( R e f D ) – 0.537. {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D}}}}} }}}}=1,930log \links(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D}}}rechts)-0,537.}

De getallen 1.930 en 0.537 zijn fenomenologisch; deze specifieke waarden passen vrij goed bij de gegevens. Het product Re√fD (het “wrijvings-Reynoldsgetal” genoemd) kan, net als het Reynoldsgetal, worden beschouwd als een (dimensieloze) parameter van de stroming: bij vaste waarden van Re√fD ligt ook de wrijvingsfactor vast.

In de weerstandsvergelijking van Kármán-Prandtl kan fD in gesloten vorm worden uitgedrukt als een analytische functie van Re door gebruik te maken van de Lambert W-functie:

1 f D = 1.930 ln ( 10 ) W ( 10 – 0.537 1.930 ln ( 10 ) 1.930 R e ) = 0.838 W ( 0.629 R e ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}={\frac {1.930}{\ln(10)}}WWeer links(10^{\frac {-0.537}{1.930}}{\frac {\ln(10)}{1.930}}\mathrm {Re} =0.838 W(0.629 \mathrm {Re} )}

In dit stromingsregime zijn vele kleine wervelingen verantwoordelijk voor de overdracht van momentum tussen de bulk van de vloeistof en de pijpwand. Naarmate het wrijvingsgetal Re√fD toeneemt, nadert het profiel van de vloeistofsnelheid de wand asymptotisch, waardoor meer momentum naar de pijpwand wordt overgebracht, zoals gemodelleerd in de grenslaagtheorie van Blasius.

RuwpijpregimeEdit

Wanneer de ruwheidshoogte ε van het pijpoppervlak significant is (typisch bij hoge Reynoldsgetallen), wijkt de wrijvingsfactor af van de gladde pijpcurve en nadert uiteindelijk een asymptotische waarde (“ruwpijpregime”). In dit regime varieert de stromingsweerstand met het kwadraat van de gemiddelde stromingssnelheid en is ongevoelig voor het getal van Reynolds. Hier is het nuttig om nog een andere dimensieloze parameter van de stroming te gebruiken, het ruwheidsgetal van Reynolds

R ∗ = 1 8 ( R e f D ) ε D {\displaystyle R_{*}={\frac {1}{sqrt {8}}}left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D}}},\right){\frac {\varepsilon }{D}}

waarbij de ruwheidshoogte ε is geschaald naar de pijpdiameter D.

Het is illustratief om de ruwheidsfunctie B uit te zetten:

B ( R ∗ ) = 1 1,930 f D + log ( 1,90 8 ⋅ ε D ) {{\displaystyle B(R_{*})={\frac {1}{1,930{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}+log \left({\frac {1.90}{\sqrt {8}}}}\cdot {\frac {\varepsilon }{D}}}rechts)}

Figuur 3 toont B tegen R∗ voor de ruwe pijp gegevens van Nikuradse, Shockling, en Langelandsvik.

In deze weergave vallen de gegevens bij verschillende ruwheidsverhoudingen ε/D samen wanneer ze tegen R∗ worden uitgezet, wat schaling in de variabele R∗ aantoont. De volgende kenmerken zijn aanwezig:

• Wanneer ε = 0, dan is R∗ identiek nul: stroming is altijd in het gladde pijpregime. De gegevens voor deze punten liggen aan het linkeruiteinde van de abscis en liggen niet binnen het kader van de grafiek.
• Wanneer R∗ < 5, dan liggen de gegevens op de lijn B(R∗) = R∗; de stroming is dan in het gladde pijpregime.
• Wanneer R∗ > 100, benaderen de gegevens asymptotisch een horizontale lijn; ze zijn onafhankelijk van Re, fD, en ε/D.
• Het tussenliggende gebied van 5 < R∗ < 100 vormt een overgang van het ene gedrag naar het andere. De gegevens wijken zeer langzaam af van de lijn B(R∗) = R∗, bereiken een maximum bij R∗ = 10 en dalen dan tot een constante waarde.

Een aanpassing aan deze gegevens in de overgang van gladde pijpstroming naar ruwe pijpstroming maakt gebruik van een exponentiële uitdrukking in R∗ die zorgt voor het juiste gedrag voor 1 < R∗ < 50 (de overgang van het gladde pijpregime naar het ruwe pijpregime):

1 f D = – 1.930 log ( 1,90 R e f D ( 1 + 0,34 R ∗ exp – 11 R ∗ ) , {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-1,930 log \left({\frac {1,90}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} Deze functie heeft dezelfde waarden voor de term gemeen met de Kármán-Prandtl weerstandsvergelijking, plus een parameter 0.34 om het asymptotische gedrag voor R∗ → ∞ aan te passen, samen met nog een parameter, 11, om de overgang van gladde naar ruwe stroming te regelen. Deze is weergegeven in figuur 3.

De Colebrook-White relatie past de wrijvingsfactor aan met een functie van de vorm

1 f D = – 2.00 log ( 2.51 R e f D ( 1 + R ∗ 3.3 ) ) . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2.00log \left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+{\frac {R_{*}}{3.3}}\right)\right).}

Deze relatie heeft het juiste gedrag bij extreme waarden van R∗, zoals blijkt uit de gelabelde kromme in figuur 3: als R∗ klein is, is het consistent met gladde pijpstroming, als R∗ groot is, is het consistent met ruwe pijpstroming. In het overgangsgebied wordt de wrijvingsfactor echter aanzienlijk overschat. Colebrook erkent de discrepantie met Nikuradze’s gegevens maar stelt dat zijn relatie consistent is met de metingen aan commerciële pijpen. Dergelijke pijpen zijn namelijk heel anders dan die welke zorgvuldig door Nikuradse zijn geprepareerd: hun oppervlakken worden gekenmerkt door veel verschillende ruwheidshoogten en een willekeurige ruimtelijke verdeling van de ruwheidspunten, terwijl die van Nikuradse oppervlakken hebben met een uniforme ruwheidshoogte, waarbij de punten extreem dicht op elkaar liggen.

Berekening van de wrijvingsfactor uit zijn parametriseringEdit

Voor turbulente stroming omvatten de methoden voor het vinden van de frictiefactor fD het gebruik van een diagram, zoals de Moody-grafiek, of het oplossen van vergelijkingen zoals de Colebrook-White-vergelijking (waarop de Moody-grafiek is gebaseerd), of de Swamee-Jain-vergelijking. Terwijl de Colebrook-White vergelijking in het algemeen een iteratieve methode is, kan met de Swamee-Jain vergelijking fD direct worden gevonden voor volledige stroming in een cirkelvormige pijp.

Directe berekening wanneer wrijvingsverlies S bekend isEdit

In typische technische toepassingen zal er een reeks gegeven of bekende grootheden zijn. De zwaartekrachtsversnelling g en de kinematische viscositeit van de vloeistof ν zijn bekend, evenals de diameter van de leiding D en de ruwheidshoogte ε. Als ook het drukverlies per lengte-eenheid S een bekende grootheid is, dan kan de wrijvingsfactor fD rechtstreeks worden berekend uit de gekozen aanpassingsfunctie. Door de Darcy-Weisbach vergelijking op te lossen voor √fD,

f D = 2 g S D ⟨ v ⟩ {\displaystyle {\sqrt {f_{\mathrm {D}} }}}={\frac {\sqrt {2gSD}}{\le vrangle }}

we kunnen nu Re√fD uitdrukken:

R e f D = 1 ν 2 g S D 3 {\displaystyle \mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}={\frac {1}{\nu }}{\sqrt {2g}}{\sqrt {S}}{\sqrt {D^{3}}}}

Uitdrukking van het ruwheidsgetal Reynolds R∗,

R ∗ = ε D ⋅ R e f D ⋅ 1 8 = 1 2 g ν ε S D {\displaystyle {\begin{aligned}R_{*}&={\frac {\varepsilon }{D}}} {\sqrt {f_{\mathrm {D} {&= {\frac {1}{\sqrt {8}}}{\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {g}}{\nu }} {varepsilon {\sqrt {S}}{\sqrt {D}}}}

we hebben de twee parameters die nodig zijn om in de Colebrook-White relatie, of een andere functie, de frictiefactor fD, de stroomsnelheid ⟨v⟩, en het volumetrisch debiet Q te substitueren.

Verwarring met de Fanning wrijvingsfactorEdit

De Darcy-Weisbach wrijvingsfactor fD is 4 keer zo groot als de Fanning frictiefactor, dus moet er goed op gelet worden welke van de twee bedoeld wordt in een “wrijvingsfactor” tabel of vergelijking die gebruikt wordt. Van de twee wordt de Darcy-Weisbach factor fD meer gebruikt door civiel- en werktuigbouwkundigen, en de Fanning factor f door scheikundig ingenieurs, maar men moet erop letten de juiste factor te identificeren, ongeacht de bron van de grafiek of formule.

Merk op dat

Δ p = f D ⋅ L D ⋅ ρ ⟨ v ⟩ 2 2 = f ⋅ L D ⋅ 2 ρ ⟨ v ⟩ 2 {\displaystyle \Delta p=f_{mathrm {D} } }ot {{displaystyle \Delta p=f_{mathrm {D}} p=f_{\frac {L}{D}}{2}}=f_{\frac {L}{D}}{2}}{2}}

De meeste grafieken of tabellen geven het type wrijvingsfactor aan, of geven tenminste de formule voor de wrijvingsfactor bij laminaire stroming. Als de formule voor laminaire stroming f = 16/Re is, dan is dat de Fanning-factor f, en als de formule voor laminaire stroming fD = 64/Re is, dan is dat de Darcy-Weisbach-factor fD.

Welke wrijvingsfactor in een Moody-diagram wordt uitgezet, kan door inspectie worden bepaald als de uitgever de hierboven beschreven formule niet heeft opgenomen:

1. Observeer de waarde van de wrijvingsfactor voor laminaire stroming bij een Reynoldsgetal van 1000.
2. Als de waarde van de wrijvingsfactor 0.064 is, dan wordt de Darcy-wrijvingsfactor in het Moody-diagram uitgezet. Merk op dat de niet-nul-cijfers in 0,064 de teller zijn in de formule voor de laminaire Darcy-wrijvingsfactor: fD = 64/Re.
3. Als de waarde van de wrijvingsfactor 0,016 is, dan is de Fanning-wrijvingsfactor uitgezet in het Moody-diagram. Merk op dat de niet-nul cijfers in 0.016 de teller zijn in de formule voor de laminaire Fanning wrijvingsfactor: f = 16/Re.

De bovenstaande procedure is vergelijkbaar voor elk beschikbaar Reynoldsgetal dat een gehele macht van tien is. Het is niet nodig om de waarde 1000 te onthouden voor deze procedure, alleen dat een gehele macht van tien van belang is voor dit doel.