Vorm

In de meetkunde hebben twee deelverzamelingen van een euclidische ruimte dezelfde vorm als de ene kan worden getransformeerd naar de andere door een combinatie van translaties, rotaties (samen ook starre transformaties genoemd), en uniforme schalen. Met andere woorden, de vorm van een verzameling punten is alle meetkundige informatie die invariant is voor vertalingen, rotaties en grootteveranderingen. Het hebben van dezelfde vorm is een equivalentierelatie, en dienovereenkomstig kan een nauwkeurige wiskundige definitie van het begrip vorm worden gegeven als zijnde een equivalentieklasse van deelverzamelingen van een Euclidische ruimte die dezelfde vorm hebben.

De wiskundige en statisticus David George Kendall schrijft:

In dit artikel wordt ‘vorm’ gebruikt in de vulgaire betekenis, en betekent het wat men er normaal gesproken van zou verwachten. Wij definiëren ‘vorm’ hier informeel als ‘alle geometrische informatie die overblijft wanneer plaats-, schaal- en rotatie-effecten uit een object zijn gefilterd’

Vormen van fysische objecten zijn gelijk als de deelverzamelingen van de ruimte die deze objecten innemen, voldoen aan bovenstaande definitie. In het bijzonder hangt de vorm niet af van de grootte en de plaats in de ruimte van het voorwerp. Bijvoorbeeld, een “d” en een “p” hebben dezelfde vorm, omdat zij perfect over elkaar kunnen worden gelegd als de “d” met een bepaalde afstand naar rechts wordt verplaatst, ondersteboven wordt gedraaid en met een bepaalde factor wordt vergroot (zie Procrustes superpositie voor details). Een spiegelbeeld kan echter een andere vorm hebben. Zo hebben een “b” en een “p” een verschillende vorm, althans wanneer zij worden beperkt om te bewegen binnen een tweedimensionale ruimte zoals de bladzijde waarop zij zijn geschreven. Ook al hebben ze dezelfde grootte, toch is er geen manier om ze perfect over elkaar te leggen door ze te transleren en te roteren over de pagina. Evenzo hebben in een driedimensionale ruimte een rechterhand en een linkerhand een verschillende vorm, ook al zijn ze elkaars spiegelbeeld. Vormen kunnen veranderen als het voorwerp een niet-uniforme schaal krijgt. Een bol wordt bijvoorbeeld een ellipsoïde als hij in verticale en in horizontale richting verschillend wordt geschaald. Met andere woorden, het behoud van symmetrieassen (als die er zijn) is belangrijk voor het behoud van vormen. Ook wordt vorm bepaald door alleen de buitengrens van een object.

Congruentie en gelijkenisEdit

Objecten die door starre transformaties en spiegelen (maar niet schalen) in elkaar kunnen worden getransformeerd, zijn congruent. Een voorwerp is dus congruent met zijn spiegelbeeld (ook als dat niet symmetrisch is), maar niet met een geschaalde versie. Twee congruente objecten hebben altijd ofwel dezelfde vorm ofwel spiegelbeeldvormen, en hebben dezelfde grootte.

Objecten die dezelfde vorm of spiegelbeeldvormen hebben worden meetkundig gelijksoortig genoemd, of ze nu dezelfde grootte hebben of niet. Dus objecten die in elkaar kunnen worden getransformeerd door starre transformaties, spiegelen, en uniforme schaling zijn gelijksoortig. Gelijksoortigheid blijft behouden wanneer een van de objecten uniform geschaald wordt, terwijl congruentie dat niet is. Dus, congruente objecten zijn altijd geometrisch gelijk, maar gelijksoortige objecten kunnen niet congruent zijn, omdat ze verschillende afmetingen kunnen hebben.

HomeomorfismeEdit

Een meer flexibele definitie van vorm houdt rekening met het feit dat realistische vormen vaak vervormbaar zijn, bijvoorbeeld een persoon in verschillende houdingen, een boom die buigt in de wind of een hand met verschillende vingerposities.

Een manier om niet-rigide bewegingen te modelleren is door homeomorfismen. Grofweg is een homeomorfisme een voortdurende uitrekking en buiging van een object tot een nieuwe vorm. Zo zijn een vierkant en een cirkel homeomorf aan elkaar, maar een bol en een donut zijn dat niet. Een vaak herhaalde wiskundige grap is dat topologen hun koffiekopje niet van hun donut kunnen onderscheiden, omdat een voldoende buigzame donut kan worden omgevormd tot de vorm van een koffiekopje door een kuiltje te maken en dat geleidelijk te vergroten, met behoud van het donutgat in het handvat van een kopje.

Een beschreven vorm heeft uitwendige lijnen die je kunt zien en waaruit de vorm is opgebouwd. Als je coördinaten in een grafiek zou zetten, zou je lijnen kunnen trekken om aan te geven waar je een vorm kunt zien, maar niet elke keer dat je coördinaten in een grafiek zet, kun je als zodanig een vorm maken. Deze vorm heeft een omtrek en een begrenzing zodat je hem kunt zien en is niet alleen maar gewone stippen op een gewoon papier.

VormanalyseEdit

De hierboven genoemde wiskundige definities van stijve en niet-stijve vorm zijn ontstaan op het gebied van de statistische vormanalyse. Met name de Procrustes-analyse is een techniek die wordt gebruikt voor het vergelijken van vormen van gelijksoortige voorwerpen (b.v. botten van verschillende dieren), of voor het meten van de vervorming van een vervormbaar voorwerp. Andere methoden zijn ontworpen om te werken met niet-rigide (buigbare) objecten, bijvoorbeeld voor het onafhankelijk terugvinden van vormen door houdingen (zie bijvoorbeeld Spectrale vormanalyse).

GelijksoortigheidsklassenEdit

Alle gelijksoortige driehoeken hebben dezelfde vorm. Deze vormen kunnen worden geclassificeerd met complexe getallen u, v, w voor de hoekpunten, volgens een methode die is ontwikkeld door J.A. Lester en Rafael Artzy. Zo kan een gelijkzijdige driehoek worden uitgedrukt door de complexe getallen 0, 1, (1 + i √3)/2 die de hoekpunten voorstellen. Lester en Artzy noemen de verhouding

S ( u , v , w ) = u – w u – v {{\displaystyle S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}}

de vorm van driehoek (u, v, w). Dan is de vorm van de gelijkzijdige driehoek

(0-(1+ √3)/2)/(0-1) = ( 1 + i √3)/2 = cos(60°) + i sin(60°) = exp( i π/3).

Voor elke affiene transformatie van het complexe vlak, z ↦ a z + b , a ≠ 0 , {\displaystyle z\mapsto az+b,\quad a\neq 0,}

wordt een driehoek getransformeerd maar verandert zijn vorm niet. De vorm p = S(u,v,w) hangt af van de volgorde van de argumenten van de functie S, maar permutaties leiden tot verwante waarden. Bijvoorbeeld, 1 – p = 1 – ( u – w ) / ( u – v ) = ( w – v ) / ( u – v ) = ( v – w ) / ( v – u ) = S ( v , u , w ) . {Displaystyle 1-p=1-(u-w)/(u-v)=(w-v)/(u-v)=(v-w)/(v-u)=S(v,u,w).}

Ook p – 1 = S ( u , w , v ) . {Displaystyle p^{-1}=S(u,w,v).}

Combinatie van deze permutaties geeft S ( v , w , u ) = ( 1 – p ) – 1 . {Displaystyle S(v,w,u)=(1-p)^{-1}.}

Verder geldt dat p ( 1 – p ) – 1 = S ( u , v , w ) S ( v , w , u ) = ( u – w ) / ( v – w ) = S ( w , v , u ) . {Displaystyle p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)=(u-w)/(v-w)=S(w,v,u).}

Deze relaties zijn “omrekenregels” voor de vorm van een driehoek.

De vorm van een vierhoek wordt geassocieerd met twee complexe getallen p,q. Als de vierhoek hoekpunten u,v,w,x heeft, dan is p = S(u,v,w) en q = S(v,w,x). Artzy bewijst deze stellingen over viervlaksvormen:

1. Als p = ( 1 – q ) – 1 , {displaystyle p=(1-q)^{-1},}
   

   dan is de vierhoek een parallellogram.

2. Als een parallellogram | arg p | = | arg q | heeft, dan is het een ruit.
3. Als p = 1 + i en q = (1 + i)/2, dan is de vierhoek vierkant.
4. Als p = r ( 1 – q – 1 ) {\displaystyle p=r(1-q^{-1})}
   

   en sgn r = sgn(Im p), dan is de vierhoek een trapezium.

Een veelhoek ( z 1 , z 2 , . . z n ) {{1},z_{2},…z_{n})}

heeft een vorm gedefinieerd door n – 2 complexe getallen S ( z j , z j + 1 , z j + 2 ) , j = 1 , . , n – 2. {Displaystyle S(z_{j},z_{j+1},z_{j+2}),j=1,…,n-2.}

De veelhoek begrenst een convexe verzameling als al deze vormcomponenten imaginaire componenten van hetzelfde teken hebben.