6 Things You Probably Didn't Know About Pi
Dzisiaj jest Dzień Pi. No wiesz, 14 marca. 3/14 to tak jakby 3.14. Rozumiecie? OK, to trochę naciągane, bo 3/14 wygląda jak ułamek, a nie Pi. Nieważne. Nadal nazywamy to Dniem Liczby Pi.
Nawet jeśli data Dnia Liczby Pi jest trochę dziwna, liczba Pi jest nadal dość niesamowita. Oto kilka rzeczy, których możesz nie wiedzieć o Pi.
Istnieje wiele przybliżeń dla Pi
Jeśli masz koło, możesz zmierzyć dwie rzeczy: odległość wokół obwodu koła (obwód) i odległość w najszerszej części koła (średnica). Bez względu na to, jak duże jest twoje koło, stosunek obwodu do średnicy jest wartością Pi. Pi jest liczbą irracjonalną – nie można jej zapisać w postaci dziesiętnej, która nie jest nieskończona. Oznacza to, że potrzebujesz przybliżonej wartości dla Pi.
Najprostszym przybliżeniem dla Pi jest po prostu 3. Tak, wszyscy wiemy, że jest to niepoprawne, ale może to przynajmniej sprawić, że zaczniesz, jeśli chcesz zrobić coś z okręgami. W przeszłości, wiele książek matematycznych wymienionych Pi jako 22/7. Ponownie, jest to tylko przybliżenie, ale jest to lepsze niż wartość 3 (w rzeczywistości 22/7 jest bliżej Pi niż tylko pisanie 3.14).
Wczesna historia matematyki obejmuje wiele przybliżeń wartości Pi. Najczęstszą metodą było skonstruowanie wielokąta o wielu bokach i wykorzystanie go do obliczenia obwodu i średnicy jako szacunkowej wartości liczby Pi. Inne kultury znalazły sposób aby zapisać Pi jako nieskończony szereg–ale bez komputera, może to być trudne do obliczenia bardzo daleko.
Możesz obliczyć garść cyfr Pi
Istnieje wiele metod aby obliczyć Pi, ale przejdę do najprostszej do zrozumienia. Zaczyna się od funkcji odwrotności tangensa. Wiemy, że odwrotność tangensa 1 to π/4 i możemy tego użyć do obliczenia Pi. Nie, nie można po prostu podłączyć go do kalkulatora i uzyskać Pi – to zakłada, że już wiesz, Pi. Zamiast tego musimy wykonać rozwinięcie serii Taylora dla odwrotności tangensa.
Podstawową ideą serii Taylora jest to, że każda funkcja wygląda jak seria potęgowa, jeśli skupimy się tylko na jednej części tej funkcji. Używając tego, mogę przedstawić odwrotność tangensa pewnej wartości (x) jako nieskończony szereg:
Rozszerzając tę funkcję o punkt x = 1 powinna być równa π/4. Oznacza to, że dla π otrzymujemy następujące równanie: (uwaga: stałe równanie na 3/14/16)
To wszystko. Teraz możesz po prostu pracować nad tą formułą tak długo, jak chcesz – albo możesz zlecić to komputerowi. Oto program, który oblicza pierwsze 10,000 terminów w serii (po prostu naciśnij play, aby go uruchomić):
Widzisz, to nie jest takie trudne dla komputera. Widać jednak, że nawet po 10 000 warunków obliczona wartość nadal różni się od wartości przyjętej. To nie jest najlepsza seria do obliczania Pi–ale mówiłem o tym wcześniej.
Możesz obliczyć Pi za pomocą liczb losowych
To jest moja ulubiona aktywność związana z Pi. Oto pomysł. Wygeneruj pary losowych liczb z przedziału od 0 do 1, aby utworzyć losowe współrzędne x,y. Umieść te punkty na siatce 1 na 1 i oblicz ich odległość od początku. Niektóre z nich będą miały odległość od początku mniejszą niż 1, a niektóre będą większe niż 1. Punkty z odległością mniejszą niż jeden są „wewnątrz okręgu” – właściwie jest to ćwiartka okręgu. Tak więc, licząc punkty wewnątrz okręgu w porównaniu do całkowitej liczby punktów, otrzymam szacunkową powierzchnię tego okręgu, która powinna wynosić π/4. To wszystko.
OK, oto program.
Naprawdę powinieneś się tym pobawić (bo to świetna zabawa). Spróbuj zmienić liczbę punktów lub coś w tym stylu. Załączyłem instrukcję „rate(1000)”, więc możesz zobaczyć dodawane punkty. Oh, uruchom to więcej niż raz—za każdym razem otrzymasz inny wynik z powodu losowej części.
Istnieje związek między Pi i grawitacją
Wyciągnij swój kalkulator. Użyj 9,8 m/s2 jako lokalnej stałej grawitacyjnej (g). A teraz spróbuj tego:
To całkiem blisko przyjętej wartości Pi – i nie jest to przypadek. Pochodzi ona z oryginalnej wersji metra jako jednostki długości. Jednym ze sposobów na zdefiniowanie metra jest stworzenie wahadła, które potrzebuje 1 sekundy na wykonanie jednego obrotu (lub 2 sekund na okres). Jeśli pamiętasz, istnieje zależność między okresem i długością dla wahadła (z małą amplitudą oscylacji):
Wstaw 1 metr dla długości i 2 sekundy dla okresu i bum—tam jest twoje połączenie. Oto bardziej szczegółowe wyjaśnienie.
Pi jest w grupie pięciu superliczb
To jest Tożsamość Eulera.
Jeśli nie sądzisz, że to równanie jest szalone i niesamowite, to znaczy, że nie zwracasz uwagi. Tworzy ono związek pomiędzy tymi pięcioma liczbami:
- Pi: wiesz, koła i takie tam.
- e: liczba naturalna. Ta liczba jest bardzo ważna w rachunku i innych rzeczach (tutaj jest moje wyjaśnienie z wcześniej).
- i: liczba urojona. Z tą liczbą (pierwiastek kwadratowy z ujemnego 1) możemy pisać liczby złożone (kombinacja rzeczywistych i urojonych).
- 1: tożsamość mnożenia. To może wydawać się głupie, ale mnożenie przez jeden jest bardzo ważne – wystarczy wziąć konwersje jednostek jako przykład.
- 0: tożsamość addytywna. Bez liczby zero, naprawdę nie możesz mieć wartości miejsca, więc utknąłeś z systemem liczbowym, takim jak cyfry rzymskie.
Ale dlaczego to równanie działa? To nie jest taka prosta odpowiedź. Oczywiście, mógłbyś użyć wzoru Eulera dla wykładników:
Jednakże jest to trochę jak wyjaśnianie magii za pomocą większej ilości magii. Dla mnie problem polega na tym, że lubimy myśleć o liczbach jako o rzeczywistych, policzalnych rzeczach. Ale nie można policzyć liczby urojonej. Możesz powiedzieć, że 32 jest jak 3 grupy po 3, ale co z 31.32? Albo co z 3-3.2i? Te są dość trudne do wyobrażenia. Jeśli nadal chcesz zrozumieć tę Tożsamość Eulera, sprawdź tę stronę.
152 dziesiętne liczby Pi prawdopodobnie wystarczą
Wyobraź sobie dużą kulę. Jeśli znasz średnicę tej dużej kuli, możesz również znaleźć jej obwód używając wartości Pi. Teraz zastąp kulę średnicą obserwowalnego wszechświata wynoszącą 93 miliardy lat świetlnych (tak, wiem, że jest to więcej niż 13 miliardów lat świetlnych – to skomplikowane). Jeśli nie znamy dokładnej wartości liczby Pi, ale jedną 152 cyfrę, to nie znamy dokładnego obwodu. Jednakże niepewność obwodu jest mniejsza niż długość Plancka – najmniejsza jednostka miary odległości, która ma jakiekolwiek znaczenie. Potrzebujesz jeszcze mniej cyfr liczby Pi, aby uzyskać niepewność obwodu mniejszą niż rozmiar atomu.
Więc, czy powinniśmy po prostu przestać szukać coraz więcej cyfr liczby Pi? Nie, musimy kontynuować poszukiwania lepszej aproksymacji liczby Pi. Zresztą, kto wie, co tam znajdziemy w cyfrach Pi. Jest już punkt Feynmana, w którym występuje ciąg sześciu dziewiątek z rzędu. I nie zapomnijcie o tym klasycznym komiksie z xkcd.
Praca domowa
Chcesz zadanie domowe z okazji Dnia Liczby Pi? OK, oto kilka pytań dla Ciebie.
- Znajdź lepszy numeryczny przepis na obliczanie cyfr liczby Pi i zrób to (w Pythonie lub czymkolwiek innym). Ostrzeżenie, być może będziesz musiał zaimportować coś w rodzaju modułu dziesiętnego, abyś mógł wyświetlić wiele cyfr liczby.
- Oblicz (lub oszacuj), ile cyfr Pi potrzebujesz, aby obliczyć obwód wszechświata w granicach wielkości 1 atomu.
- Zakładając, że cyfry Pi są losowe, jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia serii siedmiu dziewiątek z rzędu? Ile cyfr musiałbyś obliczyć, aby mieć 50 procent szans na zobaczenie tych siedmiu dziewiątek?
- Powróć do obliczeń liczb losowych dla Pi. Zmień program tak, aby wykreślał losowe punkty w trzech wymiarach, a nie tylko w dwóch.